1、3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程学 习 目 标核 心 素 养1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程(重点)2掌握双曲线的标准方程及其求法(重点)3会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题(难点)1.通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养2通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养.做下面一个实验(1)取一条拉链，拉开一部分(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？1双曲线
2、的定义文字语言平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.符号语言|PF1|PF2|常数(常数|F1F2|)焦点定点F1，F2焦距两焦点间的距离思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|MF2|2a(常数)，且2a0)，把点A的坐标代入，得b20)，把A点的坐标代入，得b29.故所求双曲线的标准方程为1.(2)法一：焦点相同，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，c216420，即a2b2
3、20.双曲线经过点(3，2)，1.由得a212，b28，双曲线的标准方程为1.法二：设所求双曲线的方程为1(416)双曲线过点(3，2)，1，解得4或14(舍去)双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线的方程为Ax2By21，AB0.点P，Q在双曲线上，解得双曲线的标准方程为1.1求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解2双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程
4、1或1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2ny21的形式，注意标明条件mn0.跟进训练1根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点；(2)焦距为2，经过点(5,2)，且焦点在x轴上；(3)焦点为(0，6)，(0,6)，且过点A(5,6)解(1)依题意，得双曲线的焦点在x轴上，且a，c2，所以b2c2a25.所以双曲线的标准方程为1.(2)因为焦点在x轴上，且c，所以设双曲线的标准方程为1,0a26.又因为过点(5,2)，所以1，解得a25或a230(舍去)所以双曲线的标准方程为
5、y21.(3)法一：由已知得c6，且焦点在y轴上因为点A(5，6)在双曲线上，所以2a|135|8，则a4，b2c2a2624220.所以所求双曲线的标准方程是1.法二：因为焦点在y轴上，所以双曲线方程可以设为1.由题意知解得a216，b220.所以所求的双曲线的标准方程为1.双曲线定义的应用探究问题1双曲线的定义中为什么要加条件“常数2a小于|F1F2|”？提示把常数记为2a，只有当2a|F1F2|时，其轨迹是双曲线；当2a|F1F2|时，其轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；当2a|F1F2|时，其轨迹不存在若常数为零，其余条件不变，则动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线2双曲线定义中
6、为什么“距离的差”要加“绝对值”？提示距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支若F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，且点P满足|PF1|PF2|2a，则点P在右支上；若点P满足|PF2|PF1|2a，则点P在左支上【例2】(1)ABC中，A(5,0)，B(5,0)，点C在双曲线1上，则()ABCD(2)已知F1，F2分别是双曲线1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32.试求F1PF2的面积思路探究(1)结合三角形中正弦定理及双曲线的定义解题，但要注意|CA|CB|2a.(2)结合焦点三角形中余弦定理和双曲线的定义，以及三角形面积公式解题(1)D在ABC中，sin A，
7、sin B，sin C(其中R为ABC外接圆的半径).又|BC|AC|8，.(2)解因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|PF1|6，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，所以|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF20，所以F1PF290，所以S|PF1|PF2|3216.1变条件，变设问若本例(2)中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离解由双曲线的标准方程1，得a3，b4，c5.由双曲线定义得|PF1|PF2|2a6，|10|PF2|6，解得|PF2|4或|
8、PF2|16.2变条件若本例(2)条件“|PF1|PF2|32”改成“|PF1|PF2|25”其他条件不变，求F1PF2的面积解由|PF1|PF2|25，|PF2|PF1|6，可知|PF2|10，|PF1|4，S448.3变条件本例(2)中，将条件“|PF1|PF2|32”改为“F1PF260”，其他条件不变，求F1PF2的面积解由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|64，S|PF1|PF2|sin F1PF26416.求双曲线
9、中的焦点PF1F2面积的方法(1)根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式S|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积(2)利用公式S|F1F2|yP|求得面积与双曲线有关的轨迹问题【例3】如图所示，在ABC中，已知|AB|4，且三个内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程思路探究解以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2，0)，B(2，0)由正弦定理，得sin A，
10、sin B，sin C(R为ABC的外接圆半径)2sin Asin C2sin B，2|BC|AB|2|AC|，即|AC|BC|2a)，a，c2，b2c2a26.即所求轨迹方程为1(x)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支跟进训练2.如图所示，已知定圆F1：x2y210x240，定圆F2：x2y210x90，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程解圆F1：(x5)2y2
11、1，圆心F1(5,0)，半径r11.圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24.设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|.点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a，c5，于是b2c2a2.故动圆圆心M的轨迹方程为1.1双曲线与椭圆的比较曲线椭圆双曲线定义|PF1|PF2|2a(|F1F2|2c,2a2c)|PF1|PF2|2a(|F1F2|2c,2a2c)标准方程1或1(ab0)1或1(a0，b0)图形特征封闭的连续曲线分两支，不封闭，不连续根据标准方程确定a，b的方法以大小分a，b(如1中，94，则,a29，b24
12、)以正负分a，b (如1中，a29，b24)a，b，c的关系a2b2c2(a最大)a2b2c2(c最大)2.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解1动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线D由已知|PM|PN|2|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线2已知m，nR，则“mn0”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充
13、分也不必要条件C方程1表示双曲线，必有mn0；当mn0时，方程1表示双曲线，所以“mn0”是“方程1表示双曲线”的充要条件3已知双曲线方程为2x2y2k，焦距为6，则k的值为_6若焦点在x轴上，则方程可化为1，所以k32，解得k6；若焦点在y轴上，则方程可化为1，所以k32，即k6.综上所述，k的值为6或6.4已知F1，F2分别为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于_4在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，即(2)222|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|4.5已知双曲线与椭圆1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线方程解因为椭圆1的焦点为(0，3)，(0,3)，A点的坐标为(，4)或(，4)，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，所以解得所以所求的双曲线的标准方程为1.
