1、3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程学 习 目 标核 心 素 养1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程(重点)2掌握双曲线的标准方程及其求法(重点)3会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题(难点)1.通过双曲线概念的学习,培养学生的数学抽象的核心素养2通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习,提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养.做下面一个实验(1)取一条拉链,拉开一部分(2)在拉开的两边各选择一点,分别固定在点F1,F2上(3)把笔尖放在M处,随着拉链的拉开或闭拢,画出一条曲线试观察这是一条什么样的曲线?点M在运动过程中满足什么几何条件?1双曲线
2、的定义文字语言平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.符号语言|PF1|PF2|常数(常数|F1F2|)焦点定点F1,F2焦距两焦点间的距离思考:(1)双曲线定义中,将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么?(2)双曲线的定义中,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,若|MF1|MF2|2a(常数),且2a0),把点A的坐标代入,得b20),把A点的坐标代入,得b29.故所求双曲线的标准方程为1.(2)法一:焦点相同,设所求双曲线的标准方程为1(a0,b0),c216420,即a2b2
3、20.双曲线经过点(3,2),1.由得a212,b28,双曲线的标准方程为1.法二:设所求双曲线的方程为1(416)双曲线过点(3,2),1,解得4或14(舍去)双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线的方程为Ax2By21,AB0.点P,Q在双曲线上,解得双曲线的标准方程为1.1求双曲线标准方程的步骤(1)定位:是指确定与坐标系的相对位置,在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以确定方程的形式(2)定量:是指确定a2,b2的数值,常由条件列方程组求解2双曲线标准方程的两种求法(1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程(2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程
4、1或1(a,b均为正数),然后根据条件求出待定的系数代入方程即可提醒:若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx2ny21的形式,注意标明条件mn0.跟进训练1根据下列条件,求双曲线的标准方程(1)以椭圆1的焦点为顶点,顶点为焦点;(2)焦距为2,经过点(5,2),且焦点在x轴上;(3)焦点为(0,6),(0,6),且过点A(5,6)解(1)依题意,得双曲线的焦点在x轴上,且a,c2,所以b2c2a25.所以双曲线的标准方程为1.(2)因为焦点在x轴上,且c,所以设双曲线的标准方程为1,0a26.又因为过点(5,2),所以1,解得a25或a230(舍去)所以双曲线的标准方程为
5、y21.(3)法一:由已知得c6,且焦点在y轴上因为点A(5,6)在双曲线上,所以2a|135|8,则a4,b2c2a2624220.所以所求双曲线的标准方程是1.法二:因为焦点在y轴上,所以双曲线方程可以设为1.由题意知解得a216,b220.所以所求的双曲线的标准方程为1.双曲线定义的应用探究问题1双曲线的定义中为什么要加条件“常数2a小于|F1F2|”?提示把常数记为2a,只有当2a|F1F2|时,其轨迹是双曲线;当2a|F1F2|时,其轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线;当2a|F1F2|时,其轨迹不存在若常数为零,其余条件不变,则动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线2双曲线定义中
6、为什么“距离的差”要加“绝对值”?提示距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支若F1,F2分别表示双曲线的左、右焦点,且点P满足|PF1|PF2|2a,则点P在右支上;若点P满足|PF2|PF1|2a,则点P在左支上【例2】(1)ABC中,A(5,0),B(5,0),点C在双曲线1上,则()ABCD(2)已知F1,F2分别是双曲线1的左、右焦点,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|PF2|32.试求F1PF2的面积思路探究(1)结合三角形中正弦定理及双曲线的定义解题,但要注意|CA|CB|2a.(2)结合焦点三角形中余弦定理和双曲线的定义,以及三角形面积公式解题(1)D在ABC中,sin A,
7、sin B,sin C(其中R为ABC外接圆的半径).又|BC|AC|8,.(2)解因为P是双曲线左支上的点,所以|PF2|PF1|6,两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36,所以|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中,由余弦定理,得cosF1PF20,所以F1PF290,所以S|PF1|PF2|3216.1变条件,变设问若本例(2)中双曲线的标准方程不变,且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离解由双曲线的标准方程1,得a3,b4,c5.由双曲线定义得|PF1|PF2|2a6,|10|PF2|6,解得|PF2|4或|
8、PF2|16.2变条件若本例(2)条件“|PF1|PF2|32”改成“|PF1|PF2|25”其他条件不变,求F1PF2的面积解由|PF1|PF2|25,|PF2|PF1|6,可知|PF2|10,|PF1|4,S448.3变条件本例(2)中,将条件“|PF1|PF2|32”改为“F1PF260”,其他条件不变,求F1PF2的面积解由1,得a3,b4,c5.由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6,|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60,102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|,|PF1|PF2|64,S|PF1|PF2|sin F1PF26416.求双曲线
9、中的焦点PF1F2面积的方法(1)根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a;利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式;通过配方,整体的思想求出|PF1|PF2|的值;利用公式S|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积(2)利用公式S|F1F2|yP|求得面积与双曲线有关的轨迹问题【例3】如图所示,在ABC中,已知|AB|4,且三个内角A,B,C满足2sin Asin C2sin B,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程思路探究解以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(2,0),B(2,0)由正弦定理,得sin A,
10、sin B,sin C(R为ABC的外接圆半径)2sin Asin C2sin B,2|BC|AB|2|AC|,即|AC|BC|2a),a,c2,b2c2a26.即所求轨迹方程为1(x)求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,结合双曲线的定义,得出对应的方程求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支跟进训练2.如图所示,已知定圆F1:x2y210x240,定圆F2:x2y210x90,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程解圆F1:(x5)2y2
11、1,圆心F1(5,0),半径r11.圆F2:(x5)2y242,圆心F2(5,0),半径r24.设动圆M的半径为R,则有|MF1|R1,|MF2|R4,|MF2|MF1|310|F1F2|.点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a,c5,于是b2c2a2.故动圆圆心M的轨迹方程为1.1双曲线与椭圆的比较曲线椭圆双曲线定义|PF1|PF2|2a(|F1F2|2c,2a2c)|PF1|PF2|2a(|F1F2|2c,2a2c)标准方程1或1(ab0)1或1(a0,b0)图形特征封闭的连续曲线分两支,不封闭,不连续根据标准方程确定a,b的方法以大小分a,b(如1中,94,则,a29,b24
12、)以正负分a,b (如1中,a29,b24)a,b,c的关系a2b2c2(a最大)a2b2c2(c最大)2.用待定系数法求双曲线的标准方程时,要先判断焦点所在的位置,设出标准方程后,由条件列出关于a,b,c的方程组如果焦点不确定要分类讨论,采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解1动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2,则点P的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线D由已知|PM|PN|2|MN|,所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线2已知m,nR,则“mn0”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充
13、分也不必要条件C方程1表示双曲线,必有mn0;当mn0时,方程1表示双曲线,所以“mn0”是“方程1表示双曲线”的充要条件3已知双曲线方程为2x2y2k,焦距为6,则k的值为_6若焦点在x轴上,则方程可化为1,所以k32,解得k6;若焦点在y轴上,则方程可化为1,所以k32,即k6.综上所述,k的值为6或6.4已知F1,F2分别为双曲线C:x2y21的左、右焦点,点P在C上,F1PF260,则|PF1|PF2|等于_4在PF1F2中,|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|,即(2)222|PF1|PF2|,解得|PF1|PF2|4.5已知双曲线与椭圆1有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求双曲线方程解因为椭圆1的焦点为(0,3),(0,3),A点的坐标为(,4)或(,4),设双曲线的标准方程为1(a0,b0),所以解得所以所求的双曲线的标准方程为1.