1、长春市2020届高三质量监测(一)理科数学本试卷共4页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
2、符合题目要求的。1.已知集合Ax|x|2，Bx|x23x0，则ABA. B. x|x3或x2 C. x| x3或x3或x02.复数z2i2i5的共轭复数在复平面上对应的点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知，则A.abc B.cba C.cab D.bc0，|0)的焦点，则过F做倾斜角为60的直线分别交抛物线于A、B(A在x轴上方)两点，则的值为A. B.2 C.3 D.412.己知函数f(x)(x22x)ex1，若当x1时，f(x)mx1m0有解，则m的取值范围为A.m1 B.m1 D.m1二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13.展开式中常数项 14.边长为2
3、正三角形ABC中，点P满足，则 15.平行四边形ABCD中，ABD是腰长为2的等腰直角三角形，ABD90，现将ABD沿BD折起，使二面角ABDC大小为，若A，B，C，D四点在同一球面上，则该球的表面积为 16.已知数列an的前n项和为Sn，满足，且，则S2n ，an 。三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第2223题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17.(本小题满分12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtanA(ab)。(I)求证：ABC是直角三角形；(II)若c10，求ABC的周长
4、的取值范围。18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABCD，ADDC，ABAD2DC2，E为PB中点。(I)求证：CE平面PAD；(II)若PA4，求平面CDE与平面ABCD所成锐二面角的大小。19.(本小题满分12分)某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分：不选或选错得0分。某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答
5、互不影响。(I)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(II)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望。20.(本小题满分12分) 已知点M(1，0)，N(1，0)若点P(x，y)满足|PM|PN|4。(I)求点P的轨迹方程；(II)过点Q(，0)的直线l与(I)中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求AOB面积的最大值及此时直线l的方程。21.(本小题满分12分)已知函数f(x)(x1)lnx，g(x)xlnx。(I)求函数f(x)的单调区间；(II)令h(x)mf(x)g(x)(m0)两个零点x1，x2(x1x2。(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做
6、则按所做的第一题计分。22.(本小题满分10分)选修44坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为24cos3。(I)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(II)直线l与圆C交于A，B两点，点P(1，2)，求|PA|PB|的值。23.(本小题满分10分)选修45不等式选讲己知函数f(x)|x3|x1|。(I)解关于x的不等式f(x)x1；(II)若函数f(x)的最大值为M，设a0，b0，且(a1)(bl)M，求ab的最小值。长春市2020届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分参
7、考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B 2. C3. C4. C5. D6. A7. D 8. A9. C10. B11. C12. C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）13. 112 14. 2 15. 16. ，三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题. 【试题解析】解：（）由题可知，即，由，可得，即是直角三角形. （6分）（）的周长，由可知，因此，即. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何相关知识.【试题解析】解：（）取中
8、点，连结、，. （6分）（）以为原点，以方面为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立坐标系. 可得，平面的法向量为；平面的法向量为；因此. 即平面与平面所成的锐二面角为. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查概率的相关知识.【试题解析】解：（）该考生本次测验选择题得50分即为将其余4道题无法确定正确选项的题目全部答对，其概率为. （4分）（）设该考生本次测验选择题所得分数为，则的可能取值为30，35，40，45，50. 该考生本次测验选择题所得分数为的分布列为3035404550选择题所得分数为的数学期望为. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查圆锥曲线
9、中的最值问题等知识. 【试题解析】解：（）由定义法可得，点的轨迹为椭圆且，. 因此椭圆的方程为. （4分）（）设直线的方程为与椭圆交于点，联立直线与椭圆的方程消去可得，即，. 面积可表示为令，则，上式可化为，当且仅当，即时等号成立，因此面积的最大值为，此时直线的方程为. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.【试题解析】解：（）由题可知，单调递增，且，当时，当时，；因此在上单调递减，在上单调递增. （4分）（）由有两个零点可知由且可知，当时，当时，；即的最小值为，因此当时，可知在上存在一个零点；当时，可知在上也存在一个零点；因此，即. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】解：（）直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为.（5分）（）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程可得，化简可得. 则. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【试题解析】（）由题意当时，可得，即. 当时，可得，即. 当时，可得，即. 综上，不等式的解集为. （5分）（）由（）可得函数的最大值，且，即，当且仅当时“=”成立，可得，即，因此的最小值为2. （10分）
