1、第4讲 万有引力与航天考点一开普勒定律与万有引力定律开普勒定律的理解与应用【典例1】(2018全国卷)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍，另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍，P与Q的周期之比约为()A.21B.41C.81D.161【解析】选C。据开普勒第三定律=，故选C。万有引力的计算【典例2】如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)()A.GB.0C.4GD.G【通型通法】1.
2、题型特征：质量分布不均匀的球体对质点万有引力的计算。2.思维导引：【解析】选D。若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为的球，易知其质量为M，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，F=G=G，故D正确。天体表面的重力加速度【典例3】(2019茂名模拟)航天员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧测力计测得
3、质量为M的砝码所受重力为F，在赤道测得该砝码所受重力为F。他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T。假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为()A.TB.TC.TD.T【通型通法】1.题型特征：利用万有引力求星体自转周期。2.思维导引：【解析】选D。设星球和探测器质量分别为m、m，在两极点，有：G=F，在赤道，有：G-F=MR，探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T，则有：G=mR；联立以上三式解得T自=T，故D正确，A、B、C错误。1.万有引力的计算：(1)推论：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即F=0。如图所示，在匀质球体内部距离球心
4、r处的质点(质量为m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(质量为M)对它的引力，即F=G。(2)质量分布不均匀的球体可采用填补法，将球体转变成质量分布均匀的。2.万有引力与重力的区别：(1)地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。在赤道：G=mg1+m2R在两极：G=mg0在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即=mg。(2)星球上空距离星体中心r=R+h处的重力加速度为g，mg=，得g=。所以=。【加固训练】1.(多选)由于地球
5、自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是()A.质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mgB.质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg0C.地球的半径为D.地球的密度为【解析】选B、C、D。因地球表面两极处的重力加速度大小为g0，则质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg0，选项A错误；因在地球的两极G=mg0，则质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为F=G=mg0，选项B正确；在赤道上：G-mg=
6、mR；联立解得：R=，选项C正确；地球的密度为=，联立解得：=，选项D正确。2.若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，忽略地球自转的影响。“蛟龙”号下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为()A.B.C.D.【解析】选C。设地球的密度为，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g=G。由于地球的质量为：M=R3，所以重力加速度的表达式可写成：g=GR。根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的位置，受到地球的万有引力即为半径等于(R-d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g
7、=G(R-d)，所以有=。根据万有引力提供向心力G=ma，“天宫一号”所在处的重力加速度为a=，所以=，=，故C正确，A、B、D错误。考点二万有引力定律的应用天体质量和密度的计算【典例4】(2020南宁模拟)如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕一周飞行时间为T，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度的表达式正确的是()A.M=，=B.M=，=C.M=，=D.M=，=【解析】选C。设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周
8、运动，其向心力由万有引力提供，G=m(R+h)，解得M=。又土星体积V=R3，所以=，故C正确，A、B、D错误。人造卫星的运行问题【典例5】自2016年起4月24日被设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km。1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为()A.a2a1a3B.a3a
9、2a1C.a3a1a2D.a1a2a3【通型通法】1.题型特征：人造卫星与地球上随地球自转的物体的加速度。2.思维导引：(1)圆轨道卫星：G=ma=m2r=m。(2)椭圆轨道卫星：某点加速度a=。(3)地表物体：a=2r。【解析】选D。东方红二号和地球赤道上随地球自转的物体的角速度相同，东方红二号的轨道半径大于地球赤道上随地球自转的物体的半径，由a=2r得a2a3，东方红一号和东方红二号由万有引力提供向心力：G=ma，结合二者离地面的高度可得a1a2。本题容易将地球赤道上随地球自转的物体用万有引力充当向心力：G=ma，得到a3a1，误选C。宇宙速度问题【典例6】(2019珠海模拟)北京时间20
10、19年4月10日21时，人类首张黑洞照片面世，如图所示。黑洞是宇宙空间内存在的一种密度极大、体积极小的天体，黑洞的引力很大，连光都无法逃逸。已知太阳的质量为M，半径为R，引力常量为G，真空中的光速为c，理论分析表明，黑洞的逃逸速度为其第一宇宙速度的倍。则下列说法正确的是()A.太阳的第一宇宙速度为B.太阳表面的重力加速度为C.假如太阳成为黑洞，则其半径的最大值为(假设太阳质量不变)D.假如太阳成为黑洞，则其半径的最大值为(假设太阳质量不变)【解析】选D。太阳的质量为M，半径为R，物体绕表面飞行，由万有引力提供向心力，得=m，解得太阳的第一宇宙速度v=，故A错误；设质量为m的物体在太阳表面，则有
11、mg=，可得g=，故B错误；若太阳成为黑洞，则其第一宇宙速度v1=，光速对应该黑洞的逃逸速度，则有：c=v1，联立可得R=，故C错误，D正确。近地卫星、同步卫星问题【典例7】(2019石景山模拟)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时。假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比()A.距地面的高度变大B.向心加速度变大C.线速度变大D.角速度变大【解析】选A。同步卫星的周期等于地球的自转周期，根据=mr可知，卫星的周期越大，轨道半径越大，所以地球自转变慢后，同步卫星需要在更高的轨道上运行，A对；又由=m=m2r=ma可知：r增
12、大，则v减小、变小、a变小，故B、C、D均错误。卫星变轨问题【典例8】(2020开封模拟)2019年春节期间，中国科幻电影流浪地球热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作。假设其逃离过程如图所示，地球现在绕太阳在圆轨道上运行，运动到A点加速变轨进入椭圆轨道，在椭圆轨道上运动到远日点B时再次加速变轨，从而摆脱太阳的束缚，下列说法正确的是()A.地球从A点运动到B点的时间小于半年B.沿椭圆轨道运行时，由A点运动到B点的过程中，速度逐渐增大C.沿椭圆轨道运行时，在A点的加速度大于在B点的加速度D.在轨道通过A点的速度大于在轨道通过A点的速度【解析】选
13、C。根据开普勒第三定律=k可知，轨道的周期大于1年，则从A点运动到B点的时间大于半年，故A错误；沿椭圆轨道运行时，由A点运动到B点的过程中，速度逐渐减小，故B错误；根据万有引力定律可知，=a，在A点的加速度大于在B点的加速度，故C正确；在A点要点火加速变轨才能到达轨道，在轨道通过A点的速度小于在轨道通过A点的速度，故D错误。卫星的追及与相遇问题【典例9】(2019泉州模拟)当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2017年4月7日出现了一次“木星冲日”。已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。则
14、下列说法正确的是()A.下一次的“木星冲日”时间肯定在2019年B.下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年C.木星运行的加速度比地球的大D.木星运行的周期比地球的小【解析】选B。地球公转周期T1=1年，由开普勒第三定律有=，木星公转的周期T2=T111.18年。设经时间t再次出现“木星冲日”，有1t-2t=2，其中1=，2=，解得t1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2018年，故A错误，B正确；设太阳质量为M，木星质量为m，加速度为a。对木星，由牛顿第二定律可得G=ma=mr2，解得a=，T2=2，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此木星运行的加速度比地球的小，木星运行的
15、周期比地球的大，故C、D错误。与抛体运动结合问题【典例10】航天站在某一星球距其表面h高度处，以某一速度沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到星球表面。已知该星球的半径为R，引力常量为G，则该星球的质量为()A.B.C.D.【解析】选A。设该星球表面的重力加速度为g，小球在星球表面做平抛运动，h=gt2。设该星球的质量为M，在星球表面有mg=G。由以上两式得，该星球的质量为M=，A正确。1.计算天体质量和密度的方法：(1)“自力更生”法。利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。由G=mg得天体质量M=。天体密度=。GM=gR2称为黄金代换公式。(2)“借助外援”法。测出卫星绕天体做匀速圆
16、周运动的周期T和半径r。由G=mr得天体的质量M=。若已知天体的半径R，则天体的密度=。注意：(1)区分两个质量：利用“借助外援”法估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量而非环绕天体的质量。(2)区别两个半径：天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有rR；计算天体密度时，V=R3中的R只能是中心天体的半径。2.万有引力定律应用的常见模型：(1)地表模型：万有引力和重力近似相等GM=gR2。(2)环绕模型：万有引力提供向心力G=m=m2r=mr=ma(3)卫星发射与变轨模型：航天器变轨时半径的变化(离心还是向心)，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速
17、度变化由v=判断。速度：vAv1v3vB。周期：T1T2T3。机械能：E1E2E3。【加固训练】(多选)宇宙飞船以周期T绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看作平行光，航天员在A点测出的张角为，则()A.飞船绕地球运动的线速度为B.一天内飞船经历“日全食”的次数为C.飞船每次经历“日全食”过程的时间为D.飞船的运行周期为T=【解析】选A、D。由题意得，飞船绕地球做匀速圆周运动的线速度v=，由几何关系得sin =，故v=，A正确；又G=mr，得T=，D正确；飞船每次经历“日全食”过程的时间等于飞船相对地球转过角的时间，即T，C错误；地球自转一圈的时间为T0，飞船绕地球一圈的时间为T，飞船绕一圈会经历一次日全食，所以每过时间T就有一次日全食，一天内飞船经历“日全食”的次数为，B错误。
