1、高一数学试题本卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第卷（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则下列说法正确的是（）A. 复数z的实部为3B. 复数z的共轭复数为：C. 复数z部虚部为：D. 复数z的模为5【答案】B【解析】【分析】将复数化为形式，则实部为，虚部为，共轭复数为，模为【详解】，则实部为，虚部为，共轭复数为：，模为选B.【点睛】本题考查复数的基本运算，属于简单题2.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个
2、数来表示，该数越接近表示满意度越高.现随机抽取位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的分位数是（ ）A. 7B. C. 8D. 【答案】C【解析】【分析】先计算分位数的位置，再求出这个数即可.【详解】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，因为，所以这10个人的分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.故选：C【点睛】本题主要考查分位数的概念和计算，属于基础题.3.已知向量，向量与的夹角为，则的值为（ ）A. 7B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】根据，得到，再根据，且向量与的夹角为，由，利用数量积运算求解.【详解】因，所以，又
3、因为，且向量与的夹角为，所以，.故选：A【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4.如右图在一个二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，则这个二面角的度数为( )A. 30B. 60C. 90D. 120【答案】B【解析】【详解】过点作且，连接，则，即为二面角的平面角，由题意，得，由余弦定理，得，则，即这个二面角的度数为；故选B.5.三棱锥的四个顶点都在球的表面积上，平面，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：由于平面，故可将三棱锥补全成一个长方体，这个长方体长宽高分别为，其对角线长为
4、，故圆的半径为，表面积为.考点：几何体的内接球问题6.若四边形是边长为2的菱形，分别为的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】运用向量的加减运算和平面数量积公式以及运算，主要是向量的平方即为模的平方，结合菱形的性质，化简即可得到所求值.【详解】四边形是边长为2的菱形，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积公式，属于难题向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建
5、立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）7.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是棱B1B、B1C中点，点G是棱CC1的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为（）A. 矩形B. 三角形C. 正方形D. 等腰梯形【答案】D【解析】【分析】取的中点，连接、，推导出平面平面，由此得到过线段且平行于平面的截面图形为等腰梯形【详解】取的中点，如图连接、，由题意得：，不在平面内，平面内，平面.不在平面内，平面内，平面.，平面，平面平面，过线段且平行于平面的截面图形为等腰梯形故选：【
6、点睛】本题考查截面图形的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.在中，其面积，则等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由三角形面积公式求出，再由余弦定理得到，再由正弦定理，即可得出结果.【详解】因为在中，其面积为，所以，因此，所以，所以，由正弦定理可得：，所以.故选A【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.（多选题）某人向正东走了
7、后向右转了150，然后沿新方向走3km，结果离出发点恰好，那么x的值是（ ）A. B. C. 3D. 6【答案】AB【解析】【分析】作出图象，三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由余弦定理建立关于的方程即可求得的值【详解】解：如图，由余弦定理得解得或故选：AB【点睛】考查解三角形的知识，其特点从应用题中抽象出三角形根据数据特点选择合适的定理建立方程求解，属基础题10.抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（ ）A. A与B
8、是互斥事件但不是对立事件B. A与C是互斥事件也是对立事件C. A与D是互斥事件D. C与D不是对立事件也不是互斥事件【答案】ABD【解析】【分析】根据互斥事件的定义以及对立事件的定义逐个判定即可.【详解】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确；在B中, A与C是互斥事件也是对立事件,故B正确；在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误；在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事
9、件,故D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了互斥与对立事件的判定,属于基础题.11.如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：( )A. 平面B. 平面平面C. 直线与直线所成角的大小为D. 【答案】ABD【解析】【分析】选项A,利用线面平行的判定定理即可证明；选项B,先利用线面平行的判定定理证明CD平面OMN，再利用面面平行的判定定理即可证明；选项C，平移直线，找到线面角，再计算；选项D,因为ONPD，所以只需证明PDPB，利用勾股定理证明即可.【详解】选项A,连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以ON,由线面平行的判
10、定定理可得，平面；选项B, 由,分别为侧棱,的中点,得MNAB,又底面为正方形，所以MNCD，由线面平行的判定定理可得，CD平面OMN,又选项A得平面，由面面平行的判定定理可得，平面平面；选项C,因为MNCD，所以 PDC为直线与直线所成的角，又因为所有棱长都相等，所以 PDC=，故直线与直线所成角的大小为；选项D，因底面为正方形，所以,又所有棱长都相等，所以,故,又ON，所以，故ABD均正确.【点睛】解决平行关系基本问题的3个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确
11、12.在给出的下列命题中，正确的是（ ）A. 设是同一平面上的四个点，若，则点必共线B. 若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C. 已知平面向量满足则为等腰三角形D. 已知平面向量满足，且，则是等边三角形【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据共线定理判断A、B、C三点共线即可；对于B，根据平面向量的基本定理，判断命题错误；对于C，根据向量的运算性质可得OA为BC的垂线且OA在的角平分线上，从而可判断C；对于D，根据平面向量的线性表示与数量积运算得出命题正确；【详解】对于A，且有公共点C，则点A、B、C共线，命题A正确；对于B，根据平面向量的基本定理缺
12、少条件不共线，故B错误；对于C，由于，即，得，即OA为BC的垂线，又由于，可得OA在的角平分线上，综合得为等腰三角形，故C正确；对于D，平面向量、满足，且，即，、的夹角为，同理、的夹角也为，是等边三角形，故D正确；故选ACD.【点睛】本题主要考查利用命题真假的判断考查了平面向量的综合应用问题，属于中档题.第卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在复平面内，复数对应的点为(-2，2)，复数对应的点为(1，-1)，复数，则对应的点在第_象限.【答案】四【解析】【分析】根据复数几何意义，可得，进而得到，得出复数对应的点的坐标，即可求解.【详解】由题意，复数对应的
13、点为(-2，2)，复数对应的点为(1，-1)，可得，所以复数，所以复数对应的点的坐标为位于第四象限.故答案为：四.【点睛】本题主要考查了复数几何意义，以及复数的运算的应用，其中解答中熟记复数的表示和复数的几何意义是解答的关键，意在考查推理与运算能力，属于基础题.14.一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为6cm的正方形，则它的体积为_.【答案】【解析】【分析】由已知可得这个正三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，这个正三棱柱的高为6，由此能求出它的体积【详解】一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为6cm的正方形，这个正三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，这个正三棱柱的高为6，它的体积为.故答案为：.
14、【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积计算，根据题意求出底面边长与高，代入体积公式即可，属于简单题.15.在中，的角平分线，则_.【答案】【解析】试题分析：由正弦定理可得，所以在中，所以，所以在中又因为，所以所以，所以，所以考点：正余弦定理【技巧点睛】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围16.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.下图是
15、国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处._._.【答案】 (1). 甲省比乙省的新增人数的平均数低 (2). 甲省比乙省的方差要大【解析】【分析】直接根据折线图得到答案.详解】根据折线图知：甲省比乙省的新增人数的平均数低；甲省比乙省的方差要大.故答案为：甲省比乙省的新增人数的平均数低；甲省比乙省的方差要大.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演
16、算步骤.17.已知复数满足，且复数为实数（1）求复数（2）求的值【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）设，得方程组求解即可得复数（2）利用复数乘除运算求解模长【详解】（1）设，则因为复数为实数，则，又， 解得 或故或（2）【点睛】本题考查复数的乘除运算，考查模长运算性质，考查计算能力，是基础题18.已知向量，求：(1)；(2) 的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由两向量的坐标，以及两向量垂直时数量积为，列出关系式，利用同角三角函数间的基本关系化简后，求出的值，由的范围，再利用同角三角函数间的基本关系求出的值. （1）由两向量的坐标求出的坐标表示,把和的值代入即可求出的值；（2
17、）把所求的式子利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将和的值代入即可求出值.【详解】(1)因为，所以435cos (4tan )0，解得sin .又因为(0，)，所以cos ，tan ，所以(7,1)，因此.(2)cos()cos cossin sin.19.一道题目因纸张破损，其中的一个条件不清楚，具体如下：在中，已知，_，经过推断破损处的条件为该三角形一边的长度，且该题的答案为，那么缺失的条件是什么呢？问题：（1）如何根据题目条件求出的大小？（2）由求得的的值和正弦定理如何求出的值？（3）破损处的条件应该用边的长度还是用边的长度，还是二者均可？为什么？【答案】（1）；（2
18、）；（3）用【解析】【分析】（1）根据降幂公式，以及三角形内角和为，可得结果.（2）利用正弦定理，可得结果.（3）根据正弦定理，简单判断，可得结果.【详解】（1）由，即又所以，又所以，则（2）由且所以可知由所以（3）只能用若用，则那么或，故有两个值，所以不能用【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，还考查了降幂公式，属基础题.20.如图，在四棱锥中，底面，点在线段上，且.（）求证：平面；（）若，求四棱锥的体积.【答案】（）证明见解析 （）【解析】【分析】（）由已知可得，即可证明结论；（）底面，根据已知条件求出梯形面积，即可求解.【详解】（）证明：因为底面，平面，所以.因为，所以.又，所以平面. （
19、）解：由（）可知，在中，又因为，则.又，所以四边形为矩形，四边形为梯形.因为，所以，于是四棱锥的体积为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，注意空间垂直之间的转化，考查椎体的体积，属于基础题.21.滕州市教育局为了解学生网络教学期间的学习情况，从初中及高中共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计请根据下面的各班人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：年级人数初一4初二4初三6高一12高二6高三18合计50（1）抽查的50人中，每天平均学习时间为68小时的人数有多少？（2）经调查，每天平均学习时间不少于6小时的学生均来自高中现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于6小时的学生中随机
20、抽取6名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；（3）在（2）抽取的6名学生中随机选取2人进行访谈，求这2名学生来自不同年级的概率【答案】（1）18人；（2）从高中三个年级依次抽取2名学生，1名学生，3名学生；（3）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，可求得学习时间为68小时的频率，进而得学习时间为68小时的人数.（2）根据分层抽样特征，即可确定在高中三个年级依次抽人数.（3）设高一的2名学生为，高二的1名学生为，高三的3名学生为，利用列举法得所有可能，进而求得2名学生来自不同年级的概率【详解】（1）由直方图知，学习时间为68小时的频率为，学习时间为68小时的人数为（人）；（2
21、）由直方图可得，学习时间不少于6小时的学生有人从中抽取6名学生的抽取比例为，高中三个年级的人数分别为12、6、18，从高中三个年级依次抽取2名学生，1名学生，3名学生；（3）设高一的2名学生为，高二的1名学生为，高三的3名学生为，则从6名学生中选取2人所有可能的情形有，共15种可能其中2名学生来自不同年级的有，共11种情形，故所求概率为【点睛】本题考查了频率分布直方图的简单应用，分层抽样特征，列举法求古典概型概率的应用，属于基础题.22.如图,四边形为矩形,且平面, ,为的中点.（1）求证:；（2）求三棱锥的体积；（3）探究在上是否存在点,使得平面，并说明理由.【答案】（1）见解析;（2）;（
22、3）见解析【解析】【分析】(1)连结,由几何体的空间结构可证得,利用线面垂直的定义可知.(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,结合题意转化顶点可得. (3)在上存在中点,使得.取的中点,连结. 易证得四边形EGHC是平行四边形,所以EG/CH,结合线面平行的判断定理可知EG/平面PCD.【详解】(1)连结,为的中点,为等腰直角三角形,则,同理可得, 又,且, , 又,又,.(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,而是三棱锥的高,. (3)在上存在中点,使得.理由如下:取的中点,连结. 是的中点, ,且, 又因为E为BC的中点,且四边形ABCD为矩形,所以EC/AD,且EC=AD,所以EC/GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形,所以EG/CH,又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG/平面PCD.【点睛】本题主要考查线面垂直的判断定理，线面垂直的判断定理，棱锥的体积公式，立体几何中探索问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
