1、二 用数学归纳法证明不等式举例考 纲 定 位重 难 突 破1.会用数学归纳法证明简单的不等式2.会用数学归纳法证明贝努利不等式3.了解贝努利不等式的应用条件.重点：1.会用数学归纳法证明简单的不等式2.会用数学归纳法证明贝努利不等式难点：贝努利不等式的应用.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理一、本节的有关结论1n21，x0，n 为大于 1 的自然数，那么有.当 是实数，并且满足 1 或者 0 时，有当 是实数，并且 01nx(1x)1x(x1)(1x)1x(x1)4如果 n(n 为正整数)个正数 a1，a2，an 的乘积 a1a2an1，那么它们的和a
2、1a2an .二、用数学归纳法证明不等式在用数学归纳法证明不等式时，我们常会用到证明不等式的其他比较重要的一个方法是n比较法双基自测1用数学归纳法证明：“1121312n11)”时，由 nk(k1)不等式成立，推证 nk1 时，左边应增加的项数是()A2k1 B2k1C2kD2k1解析：nk 时，左边为 1121312k1；nk1 时，左边为 1121312k1 12k12k1212k11，故增加了 2k112k12k 项，选 C.答案：C2对于正整数 n，下列说法不正确的是()A3212nB0.9n10.1nC0.9n10.1nD0.1n10.9n解析：由贝努利不等式(1x)n1nx，(nN
3、，x1)，当 x2 时，(12)n12n，故 A 正确当 x0.1 时，(10.1)n10.1n，B 正确，C 不正确答案：C3用数学归纳法证明不等式n22 11213 12n1)，当 n2 时，要证明的式子是_解析：当 n2 时，222 112131421.答案：21121314 2n1.证明 由贝努利不等式(1x)n1nx(nN，x1 且 x0)，得112k121212k1，其中 n2，x12k1(kN)，即 112k12k12k1，则 11 3，11353，115 75，112n12n12n1(nN)，将上述各式两边分别相乘得：(11)113 115 112n1 353752n12n1
4、2n1，(11)113 115 112n1 2n1(nN)在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1x)n 缩小为简单的 1nx的形式，这在数值估计和放缩法证明不等式中有重要应用例如：当 x 是实数，且 x1，x0 时，有贝努利不等式不难得到不等式1 x1xn1 nx1x对一切不小于 2 的正整数 n 成立1证明：(11)114 117 113n2 3 3n1(可考虑用贝努利不等式 n3 的特例)证明：利用贝努利不等式(1x)n1nx(nN，n2，x1，x0)的一个特例113k231313k2此处n3，x13k2 得 113k2 3 3k13k2，k 分别取1,2，n 时，所得 n 个
5、不等式左右两边相乘，得：(11)114 113n2 3 4174107 3n13n2.即(11)114 117 113n2 3 3n1，得证探究二 用数学归纳法证明不等式 例 2 用数学归纳法证明：112 122 1n22(nN)证明 不妨把命题 112 122 1n22，强化为 112 122 1n221n.证明：(1)当 n1 时，不等式显然成立(2)假设当 nk(k1)时不等式成立，即 112 122 1k221k.则当 nk1 时，112 122 1k21k1221k1k12.又有1k1k12 1k11kk12，所以1k1k12 1k1.所以 21k1k122 1k1.则当 nk1 时
6、，不等式也成立由(1)、(2)可知，所有正整数不等式都成立又 21n2，所以 112 122 1n2 910.证明：(1)当 n2 时，不等式的左边131415161920 910，所以，不等式成立(2)假设当 nk 时，不等式成立，即 1k1 13k 910.当 nk1 时，左边 1k2 1k3 13k13k113k213k11k1 1k2 1k3 13k 13k113k213k11k1 91013k113k213k1 1k1.由于13k113k1，13k213k1，因此左边 91013k113k213k1 1k1 91013k113k113k1 1k1 910.所以，当 nk1 时，不等式
7、也成立由(1)，(2)知，不等式对大于 1 的正整数都成立探究三 归纳、猜想、证明 例 3 设 f(n)0(nN)，对任意自然数 n1 和 n2 总有 f(n1n2)f(n1)f(n2)，又 f(2)4.(1)求 f(1)，f(3)的值；(2)猜想 f(n)的表达式，并证明你的猜想 解析(1)由于对任意自然数 n1 和 n2，总有 f(n1n2)f(n1)f(n2)取 n1n21，得 f(2)f(1)f(1)，即 f2(1)4.f(n)0(nN)，f(1)2.取 n11，n22，得 f(3)23.(2)由 f(1)21，f(2)422，f(3)23，猜想 f(n)2n.证明：当 n1 时 f(
8、1)2 成立；假设 nk 时，f(k)2k 成立f(k1)f(k)f(1)2k22k1，这就是说当 nk1 时，猜想也成立由知猜想正确，即 f(n)2n.利用数学归纳法解决探索型不等式的思路观察归纳猜想证明即先通过观察部分项的特点进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明3在数列an，bn中，a12，b14，且 an，bn，an1 成等差数列，bn，an1，bn1 成等比数列(nN)(1)求 a2，a3，a4 及 b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：1a1b11a2b21anbn 512.解析：(1)由条件得 2bnanan1，a2n1bn
9、bn1，由此可得 a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测 ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当 n1 时，由上可得结论成立假设当 nk 时，结论成立，即 akk(k1)，bk(k1)2，那么当 nk1 时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1a2k1bk(k2)2，所以当 nk1 时，结论也成立由，可知 ann(n1)，bn(n1)2 对一切正整数都成立(2)证明：1a1b1162(n1)n.故1a1b11a2b21anbn1612123 1341nn11612121313141n 1n1161212 1n1 a24对一切正整数
10、n 都成立，求正整数 a 的最大值，并证明你的结论解析 取 n1 时，111 11213112624，令2624 a24，而 aN，所以 a的最大值为 25.3 分用数学归纳法证明：1n1 1n2 1n313n12524.当 n1 时，已证结论正确.5 分假设当 nk(k1 且 kN)时，1k1 1k2 1k313k12524，6 分则当 nk1 时，有1k111k1213k113k213k313k111k1 1k213k1 13k213k313k4 1k1252413k213k423k1.+8 分因为13k213k46k19k218k823k1，所以13k213k423k10，所以1k111
11、k1213k112524，即 nk1 时，结论也成立.10 分由可知，对一切 nN，都有 1n1 1n2 1n313n12524，故 a 的最大值为 25.12 分规律探究(1)探索性问题的关键是通过具体情形进行分析归纳，总结出符合题目要求的一般的表现形式，达到猜想出一般结论的目的(2)对于猜想的一般性结论并不一定正确，只有用数学归纳法加以证明才能确定其正确性.随堂训练 1用数学归纳法证明不等式 11214 12n112764(nN)成立，其初始值至少应取()A7 B8C9 D10解析：当 n7 时，左边12764，不等式不成立，当 n8 时，左边25512812764，不等式成立，n08.答
12、案：B2如果命题 P(n)对 nk 成立，则它对 nk2 也成立又若 P(n)对 n2 成立则下列结论正确的是()AP(n)对所有 nN成立BP(n)对所有正偶数成立CP(n)对所有正奇数成立DP(n)对所有大于 1 的正整数成立解析：在上面的证明方法中，n 的第一个值为 2，且递推的依据是当 nk 时，命题正确，则当 nk2 时，命题也正确P(n)是对所有的正偶数成立答案：B3在ABC 中，不等式1A1B1C9成立；在四边形 ABCD 中，不等式1A1B1C1D162成立；在五边形 ABCDE 中，不等式1A1B1C1D1E253成立，猜想在 n 边形 A1A2An 中，其不等式为_解析：n3 时，不等式为1A1B1C3232，n4 时，不等式为1A1B1C1D4242，n5 时，不等式为1A1B1C1D1E5252，猜想 1A1 1A2 1Ann2n2.答案：1A1 1A2 1Ann2n24利用数学归纳法证明“352n1242n2 2n1”时，n 的最小取值 n0 应为_解析：n01 时不成立，n02 时，32 3，再用数学归纳法证明，故 n02.答案：2课时作业
