1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十八)双曲线(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设P是双曲线=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于()A.1B.17C.1或17D.以上答案均不对【解析】选B.由双曲线定义|PF1|-|PF2|=8,又|PF1|=9,所以|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=21,所以|PF2|=17.【误区警示】本题极易忽视双曲线的右顶点到右焦点距离的最小值为21,从
2、而误选C.2.若双曲线=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,则m的值为()A.3B.4C.5D.6【解析】选A.因为双曲线=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,所以m+m-2=4,即m=3.【加固训练】与椭圆C:=1共焦点且过点(1,)的双曲线的标准方程为()A.x2-=1B.y2-2x2=1C.-=1D.-x2=1【解析】选C.椭圆=1的焦点坐标为(0,-2),(0,2),设双曲线的标准方程为=1(m0,n0),则解得m=n=2,故选C.3.(2015沈阳模拟)已知双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线的左支上,且|MF2|=7|MF1|,则此双曲线离
3、心率的最大值为()A.B.C.2D.【解析】选A.因为|MF2|=7|MF1|,所以|MF2|-|MF1|=6|MF1|,即2a=6|MF1|6(c-a),故8a6c,即e=4.(2015马鞍山模拟)以双曲线-=1(a0,b0)的中心O(坐标原点)为圆心,焦距为直径的圆与双曲线交于M点(第一象限),F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,过点M作x轴垂线,垂足恰为OF2的中点,则双曲线的离心率为()A.-1B.C.+1D.2【解析】选C.由题意M的坐标为,代入双曲线方程可得-=1,所以e4-8e2+4=0,所以e2=4+2,所以e=+1.5.设F1,F2是双曲线C:-=1(a0,b0)的两个焦点,
4、P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最小内角为30,则C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选C.不妨设P是双曲线右支上的一点,根据定义可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,又|F1F2|=2c,且ca,所以PF1F2的最小内角为PF1F2=30,根据余弦定理可得cosPF1F2=,又e=,即c=ae代入化简可得e=.【方法技巧】双曲线离心率的求解方法(1)直接法:利用已知条件直接求出a,c的值,再利用离心率公式直接求解.(2)利用渐近线方程:利用离心率与渐近线斜率之间的关系e=求解.(3)利用关于a
5、,c的齐次式:利用已知条件,寻找a与c的关系式,然后求解.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015成都模拟)已知圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为.【解析】易知圆与y轴的交点坐标为(0,3),(0,-3),因为圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,所以双曲线的焦点在y轴上,且a=3,又A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,所以c=9,所以b2=72,所以此双曲线的标准方程为=1.答案: =17.已知F是双曲线-=1的左焦点,P是双曲线右支上的动点,若A(1,4),则|P
6、F|+|PA|的最小值是.【解析】因为A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F(4,0),于是由双曲线的定义得|PF|-|PF|=2a=4.而|PA|+|PF|AF|=5.两式相加得|PF|+|PA|9,当且仅当A,P,F三点共线时,等号成立.答案:9【方法技巧】与双曲线有关的最值问题的求法与双曲线有关的最值问题,经常借助于双曲线的定义,将表达式转化为线段之和求最值,然后再借助于平面几何的性质求解.8.过已知双曲线=1(b0)的左焦点F1作O:x2+y2=4的两条切线,记切点为A,B,双曲线的左顶点为C,若ACB=120,则双曲线的离心率为.【解析】如图,因为OCA=60,|OC|=|OA|
7、=2,所以AOC=60,AF1C=30,所以e=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.过双曲线=1的右焦点F2,倾斜角为30的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.(1)求|AB|.(2)求AOB的面积.【解析】(1)由双曲线的方程得a=,b=,所以c=3,F1(-3,0),F2(3,0).直线AB的方程为y=(x-3).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得5x2+6x-27=0.所以x1+x2=-,x1x2=-.所以|AB|=|x1-x2|(2)直线AB的方程变形为x-3y-3=0.所以原点O到直线AB的距离为d=所以SAOB=|AB|d=10.已知椭圆C
8、1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.(1)求双曲线C2的方程.(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且2(其中O为原点),求k的取值范围.【解析】(1)设双曲线C2的方程为=1(a0,b0),则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故C2的方程为-y2=1.(2)将y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得所以k2且k22,得2,解得k23,由得,k20,b0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐
9、近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M,若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是()A.B.C.D.【解析】选B.由可解得x=,y=,即Q.由可解得x=-,y=,即P.设PQ的中点为N,则N,而M(3c,0).所以kMN=-1,即=-,整理得2c3=3a2c,即e2=,解得e=.【一题多解】本题还可以用如下方法求解:直线BF1的方程为y=x+b,由得P,由得Q.从而N点坐标为,则直线MN的方程为y-=-.从而得M,又M(3c,0),则c+=3c,得a2=2b2,得e=.【加固训练】已知双曲线mx2-ny2=1(m0,n0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为(
10、)【解析】选B.由已知双曲线的离心率为2,得:=2,解得:m=3n,又m0,n0,所以mn,即故由椭圆mx2+ny2=1得所以所求椭圆的离心率为:e=2.(5分)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,2B.,2)C.(,+)D.,+)【解析】选A.设双曲线的焦点在x轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的斜率必须满足,所以3,1+4,即有2.又双曲线的离心率为e=,所以0,b0).则:(1)当ab0时,双曲线的离心率满足
11、1e0时,e=(亦称为等轴双曲线).(3)当ba0时,e.3.(5分)(2015济南模拟)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,A,B为左、右顶点,点P为双曲线C在第一象限的任意一点,点O为坐标原点,若直线PA,PB,PO的斜率分别为k1,k2,k3,记m=k1k2k3,则m的取值范围为.【解析】因为双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,所以e=,所以b=a,设P(x,y),因为点P为双曲线C在第一象限的任意一点,所以-=1,即-=1,因为A,B为左、右顶点,点O为坐标原点,直线PA,PB,PO的斜率分别为k1,k2,k3,所以k1k2=2,又因为双曲线渐近线为y=x,所以0k3,
12、所以0m=k1k2k30,b0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程.(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标.【解析】(1)由题意知a=所以一条渐近线为y=x.即bx-2y=0.所以所以b2=3,所以双曲线的方程为=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0,则x1+x2=16,y1+y2=12.所以所以t=4,点D的坐标为(4,3).5.(13分)(能力挑战题)双曲线
13、-=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=x,坐标原点到直线AB的距离为,其中A(a,0),B(0,-b).(1)求双曲线的方程.(2)若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点,过点B作直线交双曲线于点M,N,求时,直线MN的方程.【解析】(1)设直线AB:-=1,由题意,所以所以双曲线方程为-=1.(2)由(1)得B(0,-3),B1(0,3),设M(x1,y1),N(x2,y2),易知直线MN的斜率存在.设直线MN:y=kx-3,所以所以3x2-(kx-3)2=9,整理得(3-k2)x2+6kx-18=0,所以x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)-6=,x1x2=,y1y2=k2(x1
14、x2)-3k(x1+x2)+9=9.因为 = (x1,y1-3), =(x2,y2-3),=0,所以x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0,即+9-+9=0,解得k2=5,所以k=代入有解,所以lMN:y=x-3.【加固训练】双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知|,|,|成等差数列,且与同向.(1)求双曲线的离心率.(2)设直线AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.【解析】(1)设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,得d=m,tanAOF=,tanAOB=tan2AOF=由倍角公式,得则离心率e=(2)不妨设过F与l1垂直的直线方程为y=- (x-c),与双曲线方程=1联立,将a=2b,c=b代入,化简有解得b=3,故所求的双曲线方程为=1.关闭Word文档返回原板块
