1、85空间直线、平面的平行85.1直线与直线平行新课程标准解读核心素养1.借助长方体，通过直观感知、了解空间中直线与直线平行的关系逻辑推理2.了解基本事实4及定理(等角定理)直观想象把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示问题(1)为什么这些折痕互相平行？(2)初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？知识点一基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行1已知a，b是异面直线，直线c直线a，那么c与b()A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线解析：选C假设c与b平行，由于c
2、a，根据基本事实4可知ab ，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线故选C.2已知在棱长为a的正方体ABCDABCD中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与AC的位置关系是_解析：如图所示，M，N分别为CD，AD的中点，MN綉AC，由正方体的性质可得AC綉AC，MN綉AC，即MN与AC平行答案：平行知识点二等角定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补图形语言作用判断或证明两个角相等或互补对等角定理的两点认识(1)等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用；(2)当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补因此
3、等角定理用来证明两个角相等或互补 等角定理中，什么情况下两角互补？提示：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，则这两个角互补1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)分别和两条异面直线平行的两条直线平行()(2)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等()答案：(1)(2)2已知BAC30，ABAB，ACAC，则BAC()A30 B150C30或150 D大小无法确定解析：选C当BAC与BAC开口方向相同时，BAC30，方向相反时，BAC150.故选C.证明直线与直线平行例1(链接教科书第134页例1)如图所
4、示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如果ACBD，求证：四边形EFGH是菱形证明(1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EFAC，HGAC，EFHGAC，所以EFHG，EFHG，所以四边形EFGH是平行四边形(2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EHBD，EHBD.因为EFAC，ACBD，所以EHEF.又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形证明空间两条直线平行的方法
5、(1)平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等；(2)定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点；(3)基本事实4：用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得ab，同时bc，由基本事实4即可得到ac. 跟踪训练1.如图所示，在正方体ABCDABCD中，E，F，E，F分别是AB，BC，AB，BC的中点求证：EEFF.证明：因为E，E分别是AB，AB的中点，所以BEBE，且BEBE.所以四边形EBBE是平行四边形所以EEBB，同理可证FFBB.所以EEFF. 2如图，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点
6、求证：四边形B1EDF为平行四边形证明：如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.E是AA1的中点，EQ綉A1D1.在矩形A1B1C1D1中，A1D1綉B1C1，EQ綉B1C1，四边形EQC1B1为平行四边形，B1E綉C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，QD綉C1F，四边形DQC1F为平行四边形，C1Q綉FD.又B1E綉C1Q，B1E綉FD，故四边形B1EDF为平行四边形.等角定理及应用例2(链接教科书第135页练习3题)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：BGCFD1E.证明因为F为BB1的中点，所以BFBB1，因为G
7、为DD1的中点，所以D1GDD1.又BB1DD1，BB1DD1，所以BFD1G，BFD1G.所以四边形D1GBF为平行四边形所以D1FGB，同理D1EGC.所以BGC与FD1E的对应边平行且方向相同，所以BGCFD1E.关于等角定理的应用(1)根据空间中相应的定理证明角的边分别平行，即先证明线线平行；(2)根据角的两边的方向判定两角相等或互补 跟踪训练1.在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，求证：(1)EF綉E1F1；(2)EA1FE1CF1.证明：(1)连接BD，B1D1(图略)，在ABD中，因为E，F分别为AB，AD
8、的中点，所以EF綉BD，同理E1F1綉B1D1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AA1綉DD1，AA1綉BB1，所以B1B綉DD1，所以四边形BDD1B1是平行四边形，所以BD綉B1D1，所以EF綉E1F1.(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M(图略)，因为MF1綉B1C1，B1C1綉BC，所以MF1綉BC，所以四边形BCF1M是平行四边形，所以MBCF1，因为A1M綉EB，所以四边形EBMA1是平行四边形，所以A1EMB，所以A1ECF1，同理可证：A1FE1C，又EA1F与F1CE1对应边的方向均相反，所以EA1FE1CF1.2.如图所示，在三棱锥ABCD中，E，F，G分别是
9、棱AB，AC，AD上的点，且满足.求证：EFGBCD.证明：在ABC中，EFBC，且.同理，EGBD，且.又FEG与CBD的对应两边方向相同，FEGCBD.又，EFGBCD.1空间两个角，的两边分别对应平行，且60，则为()A60B120C30 D60或120解析：选D空间两个角，的两边对应平行，这两个角相等或互补，60，60或120.故选D.2.如图所示，在三棱锥S MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是()A平行B相交C异面 D平行或异面解析：选AE，F分别是SN和SP的中点，EFPN.同理可证HGPN，EFHG.故选A.3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：BMCB1M1C1.证明：(1)ABCDA1B1C1D1为正方体ADA1D1，且ADA1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，AMA1M1且AMA1M1，四边形AMM1A1为平行四边形，MM1AA1且MM1AA1.又AA1BB1且AA1BB1，MM1BB1且MM1BB1，四边形BB1M1M为平行四边形(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.BMC和B1M1C1方向相同，BMCB1M1C1.
