1、专题强化训练1在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为CD和C1C的中点，则直线AE与D1F所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析：选B.以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)若棱长为2，则A(2，0，0)、E(0，1，0)、D1(0，0，2)、F(0，2，1)所以(2，1，0)，(0，2，1)，cos，.则直线AE与D1F所成角的余弦值为.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
2、设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，所以(0，1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则所以所以n1(1，2，2)因为平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)，所以cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.3(2019浙江省十校联合体期末联考)在三棱锥OABC中，已知OA，OB，OC两两垂直且相等，点P、Q分别是线段BC和OA上的动点，且满足BPBC，AQAO，则PQ和OB所成角的余弦的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B.根据题意，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设OAOBOC2，(2，0，0)，设P(x，y，0)，Q(0，
3、0，z)，因为BPBC，AQAO，所以1x2，0y1且xy2，0z1，(x，x2，z)，|cos，|，当x1，z1时，|cos，|；当x2，z1时，|cos，|；当x2，z0时，|cos，|1.当x1，z0时，|cos，|，结合四个选项可知PQ和OB所成角的余弦的取值范围是.4(2019宁波市镇海中学高考模拟)在直三棱柱A1B1C1ABC中，BAC，ABACAA11，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GDEF，则线段DF的长度的取值范围为()A. B.C. D.解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，E，G，F(x
4、，0，0)，D(0，y，0)，由于GDEF，所以x2y10，DF，由x12y0，得y0，所以2x2，即AD的取值范围是2，2答案：2，27(2019台州市高考模拟)如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E、F分别为直线AB、CD上的动点，且|EF|.若记EF中点P的轨迹为L，则|L|等于_(注：|L|表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积)解析：如图，当E为AB中点时，F分别在C，D处，满足|EF|，此时EF的中点P在EC，ED的中点P1，P2的位置上；当F为CD中点时，E分别在A，B处，满足|EF|，此时EF的中点P在BF，AF的中点P3，P4
5、的位置上，连接P1P2，P3P4相交于点O，则四点P1，P2，P3，P4共圆，圆心为O，圆的半径为，则EF中点P的轨迹L为以O为圆心，以为半径的圆，其测度|L|2.答案：8.(2019金丽衢十二校联考)如图，在三棱锥DABC中，已知AB2，3，设ADa，BCb，CDc，则的最小值为_解析：设a，b，c，因为AB2，所以|abc|24a2b2c22(abbcca)4，又因为3，所以(ac)(bc)3abbccac23，所以a2b2c22(3c2)4c2a2b22，所以2，当且仅当ab时，等号成立，即的最小值是2.答案：29(2019宁波诺丁汉大学附中高三期中考试)如图，矩形ABCD中，AB1，B
6、C，将ABD沿对角线BD向上翻折，若翻折过程中AC长度在内变化，则点A所形成的运动轨迹的长度为_解析：过A作AEBD，垂足为E，连接CE，AE.因为矩形ABCD中，AB1，BC，所以AE，CE.所以A点的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆弧AEA为二面角ABDA的平面角以E为原点，以EB，EA所在直线为x轴，y轴建立如图所示空间直角坐标系Exyz，设AEA，则A，C，所以AC，所以 ，解得0cos ，所以6090，所以A点轨迹的圆心角为30，所以A点轨迹的长度为.答案：10(2019宁波十校联考模拟)如图，在四棱锥PABCD中，BAD120，ABAD2，BCD是等边三角形，E是BP的中点，AC与B
7、D交于点O，且OP平面ABCD.(1)求证：PD平面ACE；(2)当OP1时，求直线PA与平面ACE所成角的正弦值解：(1)证明：因为在四棱锥PABCD中，BAD120，ABAD2，BCD是等边三角形，所以ABCACD，因为E是BP中点，AC与BD交于点O，所以O是BD中点，连接OE，则OEPD，因为PD平面ACE，OE平面ACE，所以PD平面ACE.(2)因为BDAC，PO平面ABCD，以O为原点，OB，OC，OP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(0，1，0)，B(，0，0)，C(0，3，0)，E，(0，1，1)，设平面ACE的一个法向量n(x，y，z)，则，取x1
8、，得n(1，0，)，设直线PA与平面ACE所成角为，则sin ，所以直线PA与平面ACE所成角的正弦值为.11.(2019浙江暨阳4月联考卷)在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，BCAD，BCAB，PBAD2，ABBC1，E为棱PD上的点(1)若PEPD，求证：PB平面ACE；(2)若E是PD的中点，求直线PB与平面ACE所成角的正弦值解：(1)证明：过A作Az平面ABCD，以A为原点，如图建立直角坐标系，由题意解得，PC，所以B(1，0，0)，P(1，1，)，所以(0，1，)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，设E(x，y，z)，由，得E(，)，设平面ACE的法向量为n(x，y，z)，
9、则，取z1，得n(，1)，所以n0，因为PB平面ACE，所以PB平面ACE.(2)过A作Az平面ABCD，以A为原点，如图建立直角坐标系，由题意解得PC，所以B(1，0，0)，P(1，1，)，A(0，0，0)，所以(0，1，)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，所以E(，)，(1，1，0)，(，)，设平面ACE的法向量为n(x，y，z)，则，取z2，得n(，2)，所以直线PB与平面ACE所成角的正弦值：sin .12.(2019嵊州市第二次高考适应性考试)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为边长为2的正三角形，D是棱A1C1的中点，CC1h(h0)(1)证明：BC1平面AB1D
10、；(2)若直线BC1与平面ABB1A1所成角的大小为，求h的值解：(1)证明：连接A1B交AB1于E，连接DE，则DE是A1BC1的中位线所以DEBC1.又DE平面AB1D，BC1平面AB1D，故BC1平面AB1D.(2)以AB的中点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1，0，0)，C1(0，h)易得平面ABB1A1的一个法向量为n(0，1，0)又(1，h)所以sin |cos，n|.即，解得h2.13.(2019温州十五校联考)已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于一点O，BAD60，将BDC沿着BD折起得BDC，连接AC.(1)求证：平面
11、AOC平面ABD；(2)若点C在平面ABD上的投影恰好是ABD的重心，求直线CD与底面ADC所成角的正弦值解：(1)证明：因为COBD，AOBD，COAOO，所以BD平面COA，又因为BD平面ABD，所以平面AOC平面ABD.(2)如图建系Oxyz，令ABa，则A，B，D，C，所以，平面ADC的法向量为m，设直线CD与底面ADC所成角为，则sin |cos，m|，故直线CD与底面ADC所成角的正弦值为.14.(2019宝鸡市质量检测(一)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD 为矩形，PA平面ABCD，点E是PD的中点，点F是PC的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)若底面ABCD为正方形，探
12、究在什么条件下，二面角CAFD的大小为60？解：易知AD，AB，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AB2a，AD2b，AP2c，则A(0，0，0)，B(2a，0，0)，C(2a，2b，0)，D(0，2b，0)，P(0，0，2c)设ACBDO，连接OE，则O(a, b，0)，又E是PD的中点，所以E(0，b，c)(1)证明：因为(2a，0，2c)，(a，0，c)，所以2，所以，即PBEO.因为PB平面AEC，EO平面AEC，所以PB平面AEC.(2)因为四边形ABCD为正方形，所以ab，A(0，0，0)，B(2a，0，0)，C(2a，2a，0)，D(0，2a，0)，P(0，0，2c)，E(0，a，c)，F(a，a，c)，因为z轴平面CAF，所以设平面CAF的一个法向量为n(x，1，0)，而(2a，2a，0)，所以n2ax2a0，得x1，所以n(1，1，0)因为y轴平面DAF，所以设平面DAF的一个法向量为m(1，0，z)，而(a，a，c)，所以macz0，得z，所以m(1，0，)m(c，0，a)cos 60，得ac.故当AP与正方形ABCD的边长相等时，二面角CAFD的大小为60.
