1、第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如zx2y线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 确定
2、二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，不等式含等号，直线在区域内，不含等号，直线不在区域内(2)特殊点定域，在直线上方(下方)取一点，代入不等式成立，则区域就为上方(下方)，否则就是下方(上方).特别地，当C0时，常把原点作为测试点；当C0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点(3)对于AxByC0的区域：当B0时，化为yx，直线上方；当B0时，化为yx，直线下方1(基础知识：平面区域)不等式组表示的平面区域是()答案：C2(基本方法：线性目标函数求最值)若变量x，y满足约束条件则z3x2y
3、的最小值为()A B6C D4答案：C3(基本方法：线性目标函数求最值)x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为_答案：64(基本能力：平面区域面积)不等式组所表示的平面区域的面积等于_答案：5(基本应用：在实际问题中的应用)投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为_(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)答案：题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域 典例剖析类型 1确定区域形状或面积例1(1
4、)(2020山东济南模拟)不等式组表示的平面区域的面积为()A4 B1C5 D无穷大解析：不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，ABC的面积即为所求求出点A，B，C的坐标分别为(1，2)，(2，2)，(3，0)，则ABC的面积为S(21)21.答案：B(2)若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是()Aa B0a1C1a D0a1或a解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示且作l1：xy0，l2：xy1，l3：xy.由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：xya在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)，即
5、a的取值范围是0a1或a.答案：D类型 2平面区域内的点存在问题例2设不等式组表示的平面区域为M，若直线ykx2上存在M内的点，则实数k的取值范围是()A1，3 B(，13，)C2，5 D(，25，)解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，因为直线l：ykx2的图象过定点A(0，2)，且斜率为k，由图知，当直线l过点B(1，3)时，k取最大值5，当直线l过点C(2，2)时，k取最小值2，故实数k的取值范围是2，5.答案：C方法总结1求平面区域的面积：(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而作出平面区域(2)对平面区域进行分析，若为三
6、角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可2利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解题组突破1在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影由区域中的点在直线xy20上的投影构成的线段记为AB，则|AB|()A2 B4C3 D6解析：如图所示，PQR为线性区域，区域内的点在直线xy20上的投影构成了线段RQ，即AB，而RQRQ，由得Q(1，1)，由得R(2，2)，|AB|QR| 3.答案：C2若函数y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最
7、大值为()A B1C D2解析：在同一直角坐标系中作出函数y2x的图象及所表示的平面区域，如图中阴影部分所示由图可知，当m1时，函数y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.答案：B题型二线性规划中的最值问题 典例剖析类型 1不含参数的线性目标函数最值例1(1)(2020高考全国卷)若x，y满足约束条件则zx7y的最大值为_解析：画出可行域如图所示平移直线l0：x7y0，当直线l0过点A时z最大由得即A(1，0)，zmax1701.答案：1(2)(2019高考全国卷)若变量x，y满足约束条件则z3xy的最大值是_解析：作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，
8、当直线y3xz过点C时，z最小，即z最大由解得即C点坐标为(3，0)，故zmax3309.答案：9类型 2含参数的线性目标函数问题例2已知实数x，y满足若zxay只在点(4，3)处取得最大值，则实数a的取值范围是_解析：法一：由不等式组作出可行域如图所示，联立解得C(4，3).当a0时，目标函数化为zx，由图可知，可行解(4，3)使zxay取得最大值，符合题意；当a0时，由zxay，得yx，此直线斜率大于0，当在y轴上的截距最小时，z最大，要使可行解(4，3)为目标函数zxay取得最大值的唯一最优解，则1，即0a1，符合题意；当a0时，由zxay，得yx，此直线斜率为负值，当在y轴上的截距最大
9、时，z最大，要使可行解(4，3)为目标函数zxay取得最大值的唯一最优解，则0，即a0.综上，实数a的取值范围是(，1).法二：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A(1，0)，B，C(4，3)，当直线zxay过点A时得z11；当直线zxay过点B时，z2a；当直线zxay过点C(4，3)时，z343a，由题可知解得a1，即实数a的取值范围为(，1).答案：(，1)类型 3非线性目标函数的最值例3(2021河南郑州模拟)已知变量x，y满足则k的取值范围是()Ak或k5 B5kC5k Dk或k5解析：由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，其中A(2，4)，k的几何意义为可行
10、域内的动点(x，y)与定点P(3，1)连线的斜率，由图可知，kkPA5或k.答案：A方法总结1求截距型目标函数zaxby的最值，常将函数zaxby转化为直线的斜截式yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值，一般步骤为：一画二移三求，其关键是求出最优解，从而得到目标函数的最值2非线性目标函数最值问题的常见类型及求法：距离平方型目标函数为z(xa)2(yb)2时，可转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的平方求解斜率型对形如z(ac0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z的形式，将问题转化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等点到直线距
11、离型对形如z|AxByC|型的目标函数，可先变形为z的形式，将问题转化为求可行域内的点(x，y)到直线AxByC0的距离的倍的最值题组突破1变量x，y满足约束条件若z2xy的最大值为2，则实数m等于()A2 B1C1 D2解析：如图所示，当m0时，比如在的位置，此时为开放区域无最大值，当m2时，比如在的位置，此时在原点取得最大值，不满足题意，当0m2时，比如在的位置，此时在点A处取得最大值，所以A，代入得m1.答案：C2(2021广东广州模拟)若x，y满足约束条件则zx22xy2的最小值为()A BC D解析：画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，zx22xy2(x1)2y21，其几
12、何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(1，0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(1，0)的距离的最小值为，故zx22xy2的最小值为zmin1.答案：D3实数x，y满足不等式组 则z|x2y4|的最大值为_解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z|x2y4|，其几何意义为阴影区域内的点到直线x2y40的距离的 倍由得B点坐标为(7，9)，显然点B到直线x2y40的距离最大，此时zmax21.答案：214(母题变式)将例1(1)改为：若条件不变，求zx7y的最小值解析：由题意可得B(0，1)，作直线l0：x7y0，当l0平移到过B点时，zmin7.1(2
13、020高考全国卷)若x，y满足约束条件则zx2y的最大值是_解析：作出可行域，如图中阴影部分所示zx2y可变形为yxz，作直线l0：yx，并平移，可知当直线过点A时，z取得最大值由得A(2，3)，所以zmax2238.答案：82(2020高考全国卷)若x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为_解析：作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示z3x2y可化为yxz，作直线yx，并平移该直线，易知当直线经过点A(1，2)时，z最大，zmax7.答案：7(从“整点”视角)已知则不等式组所表示的区域内整数点的个数为_解析：法一：画出约束条件所表示的平面区域如图所示，在平面区域中画网格线，由图可见，平面区域内有6个整数点法二：画出约束条件表示的平面区域如图所示，计算出交点A(3，3)，B(0，2)，C(1，0)，则0x3，xZ.由得当x0时，y2，此时整数点个数为1；当x1时，由0y，yZ，得y取值为0，1，2，此时整数点个数为3；当x2时，由y，yZ，得y取值为2，此时整数点个数为1；当x3时，y3，整数点个数为1.综上所述，平面区域内有6个整数点答案：6
