1、空间向量与立体几何一、选择题1若不同直线l1，l2的方向向量分别为，v，则下列直线l1，l2中既不平行也不垂直的是()A(1,2，1)，v(0,2,4)B(3,0，1)，v(0,0,2)C(0,2，3)，v(0，2,3)D(1,6,0)，v(0,0，4)解析：选B.A项中v0440，l1l2；C项中v，v共线，故l1l2；D项中，v0000，l1l2，故选B.2设A、B、C、D是空间不共面的四个点，且满足0，0，0，则BCD的形状是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形 D无法确定解析：选C.()()220，同理0，0，BCD是锐角三角形，故选C.3如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1
2、中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：选D.如图所示，连接A1C1，AA1平面A1B1C1D1，AC1A1就是直线AC1与平面A1B1C1D1所成角的平面角而AC13，sinAC1A1.4(2011年高考辽宁卷)如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是()AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选D.易证AC平面SBD，因而ACSB，A正确；ABDC，DC平面SCD，故AB平面SCD，B正确；由于SA，SC
3、与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同5菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB2，BCD60，现将其沿对角线BD折成直二面角ABDC(如图)，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选C.()()00011，而|2，cos，故异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选C.二、填空题6已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心，若0，则_.解析：连接A1D、C1D，A1C1，则EF綊A1D，故，即.答案：7如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1D
4、C所成的角的正弦值为_解析：不妨设三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(，1,0)，B1(，1,2)，D，则，(，1,2)设平面B1DC的法向量为n(x，y,1)，由解得n(，1,1)又，sin|cos，n|.答案：8已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，当APC最大时，三棱锥PABC的体积为_解析：如图，以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系，设1(01)，可得P(，)，再由cosAPC可求得当时，APC最大，故VPABC11，故填.答案：三、解答题9如图，AC是圆O的直径，点B在圆
5、O上，BAC30，BMAC交AC于点M，EA平面ABC，FCEA，AC4，EA3，FC1.(1)证明：EMBF；(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值解：(1)证明：因为AC是圆O的直径，所以ABC90，又BAC30，AC4，所以AB2，而BMAC，易得AM3，BM.如图，以A为坐标原点，垂直于AC的直线、AC、AE所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系由已知条件得A(0,0,0)，M(0,3,0)，E(0,0,3)，B(，3,0)，F(0,4,1)，(0，3,3)，(，1,1)由(0，3,3)(，1,1)0，得，EMBF.(2)由(1)知(，3,3)，(，1,1)设平面BE
6、F的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，得，令x得y1，z2，n(，1,2)，由已知EA平面ABC，所以平面ABC的一个法向量为(0,0,3)，设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为，则cos|cosn，|，故平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为.10已知四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，其中BC2AB2PA6，M，N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示(1)求证：AN平面MBD；(2)求异面直线AN与PD所成角的余弦值；(3)求二面角MBDC的余弦值解：(1)证明：连结AC交BD于点O，连结OM，底面ABCD为矩形，O为AC的中点，M、N为侧棱PC的
7、三等分点，CMMN，OMAN，OM平面MBD，AN平面MBD，AN平面MBD.(2)如图所示，以A点为原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,6,0)，D(0,6,0)，P(0,0,3)，M(2,4,1)，N(1,2,2)，(1,2,2)，(0,6，3)cos，异面直线AN与PD所成角的余弦值为.(3)侧棱PA底面ABCD，平面BCD的一个法向量为(0,0,3)，设平面MBD的法向量为m(x，y，z)，(3,6,0)，(1,4,1)，并且m，m，令y1得x2，z2，平面MBD的一个法向量为m(2,1，2)cos，m.由图可知二面角MBDC是锐角，二面角M
8、BDC的余弦值为.11.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论解：设正方体的棱长为1.如图所示，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系(1)依题意，得B(1,0,0)，E(0,1，)，A(0,0,0)，D(0,1,0)，所以(1,1，)，(0,1,0)在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AD平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量设直线BE和平面ABB1A1所成的角为，则sin .即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)
9、在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE.证明如下：依题意，得A1(0,0,1)，(1,0,1)，(1,1，)设n(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n0，n0，得所以取z2，得n(2,1,2)设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0t1)又B1(1,0,1)，所以(t1,1,0)而B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BEn0(t1,1,0)(2,1,2)02(t1)10tF为棱C1D1的中点这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F平面A1BE.高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()
