1、第2讲平面向量基本定理及坐标表示考纲解读1.熟悉平面向量的基本定理及其意义，并掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，并理解用坐标表示的平面向量共线的条件(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点预测2021年会从以下几点进行命题：向量的坐标运算及线性表示；根据向量共线求参数值；共线向量与其他知识综合题型以客观题为主，有时也会与三角函数、解析几何综合命题，试题难度以中档题型为主.1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线
2、的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2平面向量的坐标运算设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab (x1x2，y1y2)，ab (x1x2，y1y2)，a (x1，y1)，|a|，|ab|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.1概念辨析(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b，则12，12.()(4)
3、若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)设平面向量a(1,0)，b(0,2)，则2a3b等于()A(6,3) B(2，6)C(2,1) D(7,2)答案B解析2a3b2(1,0)3(0,2)(2,0)(0,6)(2，6)(2)下列各组向量中，可以作为基底的是()Ae1(0,0)，e2(1，2)Be1(1,2)，e2(5,7)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2答案B解析对于A，e1e2，不能作为基底；对于B，17250，所以e1与e2不共线，可以作为基底；对于C，e22e1，所以e1e2，不能作为基底；
4、对于D，e14e2，所以e1e2，不能作为基底(3)如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则的值为()A. BC1 D1答案A解析由题意得，又，由平面向量基本定理得，1，所以.(4)设e1，e2是不共线的两个向量，且e1e20，则22_.答案0解析解法一：假设0，则由e1e20得e1e2，则e1，e2共线，与e1，e2不共线矛盾，所以0，同理可得0，所以220.解法二：因为0e10e20，e1，e2不共线，又因为e1e20，所以由平面向量基本定理得0，所以220.题型 一平面向量基本定理及其应用1如图，有5个全等的小正方形，xy，则xy 的值是_答案1解析由平面向量的运算可知，2，2，所
5、以2(2)32，注意到，不共线，且xy，即xy32，所以x3，y2，所以xy1.2(2019西安调研)如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若m，则实数m的值为_答案解析由N是OD的中点，得()，又因为A，N，E三点共线，故，即m，又与不共线，所以解得故实数m.1用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要注意运用平面几何的一些性质定理2运用平面向量基本定理时应注意的问题(1)只要两个
6、向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算(3)利用“唯一性”建立方程组如举例说明2. 1如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_答案解析设，P是BN上的一点，则()(1)(1)m.m1，解得，m.2(2019衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xayb(x，y为非零实数)共线，则的值为_答案解析设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量ce12e2，a2e1e2，b2e12e2
7、，由c与xayb共线，得c(xayb)，所以e12e22(xy)e1(x2y)e2，所以所以则的值为.题型 二平面向量的坐标运算1已知点A(1,3)，B(4，1)，则与同方向的单位向量是()A. B.C. D.答案A解析(4，1)(1,3)(3，4)，与同方向的单位向量为.2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)因为mbnc(6mn，
8、3m8n)，所以解得(3)设O为坐标原点，因为3c，所以3c(3,24)(3，4)(0,20)，所以M(0,20)，又因为2b，所以2b(12,6)(3，4)(9,2)，所以N(9,2)所以(9，18)平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 1(2019厦门外国语学校模拟)已知点A(1,1)，B(0,2)，若向量(2,3)，则向量()A(3，2) B(2，2)C(3，2) D(3,2)答案D解析由已知，得(1,1)，则(2,3)(1,1)(3,2)2已知a
9、(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于()Aab B.abCab Dab答案B解析设cab.则(1,2)(1,1)(1，1)，所以解得所以cab.题型 三平面向量共线的坐标表示角度1利用向量共线求参数的值1(1)(2018全国卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_；(2)平面内有三点A(0，3)，B(3,3)，C(x，1)，且A，B，C三点共线，则x_.答案(1)(2)1解析(1)由题意可得2ab(4,2)，c(2ab)，c(1，)，420，即.(2)由题意知(3,6)，(x3，4)因为A，B，C三点共线，所以与共线，所以3(4)6(x3)0，解得x1
10、.角度2向量共线综合问题2(2019山东德州一模)已知ABC的三边分别是a，b，c，设向量m(sinBsinA，ac)，n(sinC，ab)，且mn，则B的大小是()A. B. C. D.答案B解析因为mn，所以(ab)(sinBsinA)sinC(ac)由正弦定理得，(ab)(ba)c(ac)，整理得a2c2b2ac，由余弦定理得cosB.又0B，所以B.1平面向量共线的充要条件的两种形式(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10.如举例说明1(1)(2)若ab(b0)，则ab.2利用向量共线求参数值向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由向量平
11、行求参数值当两向量的坐标均非零时，可以利用坐标对应成比例来求解3向量坐标运算解决综合问题的要点(1)准确运用加、减、数乘的坐标运算法则(2)准确运用向量相等、向量共线、垂直的坐标运算形式，实现问题的转化(3)准确运用三角恒等变换、不等式、方程等知识，解决综合问题 1(2019绵阳模拟)已知向量a(sin2，1)，b(cos，1)，若ab,0，则_.答案解析因为ab，所以sin2cos，即cos(2sin1)0，又00，所以sin，解得.2已知向量a(1,2)，b(2,3)，若manb与2ab共线(其中nR，且n0)，则_.答案2解析由a(1,2)，b(2,3)，得manb(m2n,2m3n)，
12、2ab(0,7)，由manb与2ab共线，可得7(m2n)0，则2.组基础关1向量a，b满足ab(1,5)，ab(5，3)，则b()A(3,4) B(3,4)C(3，4) D(3，4)答案A解析由ab(1,5)，ab(5，3)，得2b(1,5)(5，3)(6,8)，所以b(6,8)(3,4)2已知向量m与向量n(3，sinAcosA)共线，其中A是ABC的内角，则角A的大小为()A. B. C. D.答案C解析mn，sinA(sinAcosA)0，2sin2A2sinAcosA3，1cos2Asin2A3，sin1，A(0，)，2A，解得A.3(2019绍兴模拟)已知点M(5，6)和向量a(1
13、，2)，若3a，则点N的坐标为()A(2,0) B(3,6) C(6,2) D(2,0)答案A解析因为3a(5，6)3(1，2)(2,0)，所以点N的坐标为(2,0)4已知向量a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)，若a2b3c0，则c()A. B.C. D.答案D解析因为a2b3c(5，2)2(4，3)3(x，y)(133x,43y)0，所以解得所以c.5(2020内蒙古包钢一中月考)已知在平行四边形ABCD中，(3,7)，(2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为()A. B.C. D.答案C解析()(2,3)(3,7)(1,10).6(2019宁波模拟)在ABC中，内角A，B，C
14、所对的边分别为a，b，c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若pq，则角C的大小为()A30 B60 C90 D120答案B解析由题意得(ac)(ca)b(ba)0，得a2b2c2ab，故cosC，0C180，故C60.7(2019绵阳模拟)如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DECD，若点P为CD的中点，且，则()A3 B. C2 D1答案B解析由题知，又()().，故选B.8已知向量a(1，)，b(，2)，若(ab)(ab)，则_.答案解析ab(1，2)，ab(1，2)因为(ab)(ab)，所以(1)(2)(2)(1)，解得.9已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,1
15、0)，若(R)，且点P在直线x2y0上，则的值为_答案解析设P(x，y)，则由，得(x2，y3)(2,2)(5,7)(25，27)，所以x54，y75.又点P在直线x2y0上，故542(75)0，解得.10在ABC中，点M，N满足2，若xy，则x_；y_.答案解析如图，在ABC中，()，所以x，y.组能力关1(2019江西师大附中高考模拟)已知Pa|a(1,0)m(0,1)，mR，Qb|b(1,1)n(1,1)，nR是两个向量集合，则PQ等于()A(1,1) B(1,1)C(1,0) D(0,1)答案A解析设a(x，y)，则P(x，y)，集合P是直线x1上的点的集合同理，集合Q是直线xy2上的
16、点的集合，即P(x，y)|x1，yR，Q(x，y)|xy20，PQ(1,1)故选A.2(2019山东师范大学附中模拟)在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则()A1 B. C. D.答案D解析在ABD中，BDAB1.又BC3，所以BDBC.O为AD的中点，.3(2020南充摸底)原点O是ABC内一点，顶点A在x轴上，AOB150，BOC90，|2，|1，|3，若，则()A B. C D.答案D解析建立如图所示的直角坐标系，则A(2，0)，B，C，因为，由向量相等的坐标表示可得解得即.4(2019湖北省武汉市武昌区高考数学模拟)已知点C为扇形AOB的弧
17、上任意一点，且AOB120，若(，R)，则的取值范围为()A2,2 B(1， C1， D1,2答案D解析设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，则A，B(1,0)，C(cos，sin)，有(，R)，即(cos，sin)(1,0)，整理得cos，sin，解得，cos，则cossincos2sin，易知2sin在上单调递增，在上单调递减，由单调性易得其值域为1,25已知梯形ABCD，其中ABDC，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_答案(2,4)解析在梯形ABCD中，DC2AB，ABDC，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4x,2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，解得故点D的坐标为(2,4)6(2019安徽省马鞍山二中高考模拟)已知向量(1，sin1)，(3,1)，(2，cos)，若B，C，D三点共线，则tan(2019)_.答案2解析B，C，D三点共线，xx()，即(2，cos)x(4，sin)，则得x，即cossin，得tan2，则tan(2019)tan()tan2.
