1、10.1 两角和与差的三角函数 10.1.1 两角和与差的余弦 第10章 三角恒等变换 学 习 任 务核 心 素 养 1能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用(难点)2能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式(重点)3能用两角和与差的余弦公式化简、求值(重点)1通过对两角和与差的余弦公式的推导，培养逻辑推理素养2通过应用两角和与差的余弦公式进行求值、化简和证明，培养数学运算和逻辑推理素养情境导学探新知 NO.1知识点 我们已经知道了 30，45的正弦、余弦值，那么，能否根据这些值求出 cos 15的值呢？一般地，怎样根据 与 的三角函数值求出cos()的值
2、？知识点 两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式 C()：cos()_(2)两角和的余弦公式 C()：cos()_ cos cos sin sin cos cos sin sin 提示 不成立 cos(9030)cos 90cos 30成立吗？1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)，R 时，cos()cos cos sin sin()(2)cos 105cos 45 cos 60sin 45sin 60()(3)cos 30cos 120sin 30sin 1200()(4)cos4 cos4 sin4 sin4 cos 2()答案(1)(2)(3)(4)2cos 75_；cos
3、15_ 6 24 6 24 cos 75cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 45 6 24；cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 30sin 456 24 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 两角和与差的余弦公式的简单应用【例 1】求下列各式的值：(1)cos 40cos 70cos 20cos 50；(2)cos 7sin 15sin 8cos 8；(3)12cos 15 32 sin 15 解(1)原式cos 40cos 70sin 70sin 40cos(7040)cos 30 32 (2)原式cos158sin 1
4、5sin 8cos 8cos 15cos 8cos 8cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45 2 64(3)cos 6012，sin 60 32，12cos 15 32 sin 15cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45 22 1两角和与差的余弦公式中，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体2在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值 提醒：要重视诱导公式在角和函数名称的差异中的转化作用 跟进训练 1求下列各式的值(1)cos 75
5、cos 15sin 75sin 195；(2)cos 24cos 36sin 24cos 54；(3)2cos 10sin 20cos 20 解(1)cos 75cos 15sin 75sin 195 cos 75cos 15sin 75sin 15 cos(7515)cos 6012(2)原式cos 24cos 36sin 24sin 36 cos(2436)cos 6012(3)原式2cos3020sin 20cos 20 2cos 30cos 202sin 30sin 20sin 20cos 20 3cos 20sin 20sin 20cos 20 3cos 20cos 20 3 类型
6、2 已知三角函数值求角【例 2】已知锐角，满足 sin 55，cos 3 1010，求 的值 以同角三角函数的基本关系为切入点，求得 cos，sin 的值，在此基础上，借助 cos的公式及 的范围，求得 的值.解 因为，为锐角，且 sin 55，cos 3 1010，所以 cos 1sin21152 55，sin 1cos21 910 1010，故 cos()cos cos sin sin 2 55 3 1010 55 1010 22 由 02，02，得 00，所以 为锐角，所以 4 已知三角函数值求角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数；第二步：
7、确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围；第三步：根据角的范围写出所求的角.跟进训练 2已知 cos 17，cos()1314，且 02，求 的值 解 由 cos 17，02，得 sin 1cos211724 37 由 02，得 02 又cos()1314，sin()1cos21131423 314 由()，得 cos cos()cos cos()sin sin()1713144 37 3 314 12，3 类型 3 给值求值问题【例 3】(对接教材 P51 例 3)已知 sin 45，sin 513，且32，2，求 cos()解 sin 45，32，cos 1sin235 又sin 513，2
8、，cos 1sin21213，cos()cos cos sin sin 35 1213 45 5131665 1(变条件)若将本题改为已知 sin 45，sin 513，且 2，02，求 cos()解 sin 513，02，cos 1sin21213 又 sin 45，且 2，当 32 时，cos 1sin235，cos()cos cos sin sin 35 121345 5135665；当32 2 时，cos 1sin235，cos()cos cos sin sin 35121345 5131665 综上所述，cos()5665或1665 2(变条件)若将本例改为已知 sin 45，32，
9、cos()1665，2求 sin 解 sin 45，且 32，cos 1sin235 又2，2，0 又 cos()1665，sin()1cos21166526365，cos cos()cos cos()sin sin()35 166545 63651213，sin 1cos2 513 1利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解2在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：()，()，(2)()，2()()，2()()等 提醒：注意角的范围对
10、三角函数值符号的限制 跟进训练 3已知，均为锐角，且 cos 2 55，cos 1010，求 的值 解，均为锐角，sin 55，sin 3 1010 cos()cos cos sin sin 2 55 1010 55 3 1010 22 又 sin sin，02，20故 4当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1cos 20等于()Acos 30cos 10sin 30sin 10 Bcos 30cos 10sin 30sin 10 Csin 30cos 10sin 10cos 30 Dsin 30cos 10sin 10cos 30 答案 B 1 2 3 4 5 2cos(35)cos
11、(25)sin(35)sin(25)的值为()A12 B12 C 32 D 32 B 原式cos(35)(25)cos(60)cos 6012 1 2 3 4 5 3已知 cos()45，cos()45，则 cos cos 的值为()A0 B12 C 22 D 32 A cos()cos cos sin sin 45，cos()cos cos sin sin 45，2cos cos 0 cos cos 0 1 2 3 4 5 4cos 105sin 195_ 2 62 cos 105sin 195cos 105sin(10590)cos 105cos 105 2cos(13530)2(cos
12、135cos 30sin 135sin 30)2 22 32 22 12 2 62 5 1 2 3 4 5若 sin 35，2，则 cos 4 的值为_ 210 2，sin 35，cos 45 cos4 cos4cos sin4sin 22 45 22 35 210 回顾本节知识，自我完成以下问题：1两角和与差的余弦公式各有什么结构特征？提示(1)简记为：“余余正正，符号相反”(2)简记为：“余余正正，符号相反”2已知 cos()和 sin 的值，如何求 cos 的值？提示 由()可知，cos cos()cos()cos sin()sin，故可先求出 sin()及 cos 的值，代入上式求得 cos 的值 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
