1、选修41 几何证明(选讲)第2节 直线与圆的位置关系选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂考纲了然于胸1会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理2会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂【考点自主回扣】要点梳理1圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的_的一半圆心角选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂(2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的_推论1：同弧或等弧所对的_相等；同圆或等圆中，相等的_所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是_；90的圆周角所对的弦是
2、_(3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的_推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半度数圆周角圆周角直角直径圆周角选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂2圆内接四边形的判定定理和性质定理定理(或推论)内容判定定理 如果一个四边形的对角_，那么这个四边形的四个顶点共圆判定定理的推论如果四边形的一个外角等于它的_，那么这个四边形的四个顶点共圆性质定理 圆的内接四边形的对角_，圆内接四边形的外角等于它的内角的_互补内角的对角互补对角选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂3圆的切线定义、定理及推论内容定义如果一条直线与一个圆有唯一公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点判定定理经过半径
3、的_并且_这条半径的直线是圆的切线性质定理圆的切线_经过切点的半径性质定理的推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过_，经过切点且垂直于切线的直线必经过_外端垂直于垂直于切点圆心选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂4直线与圆位置关系的有关定理定理内容切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的_相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的_相等割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的_相等切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的_相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角比例中项积积切线长选修4-1 几何证明（选讲）
4、创新大课堂小题查验1给出下列命题：圆心角等于圆周角的2倍；相等的圆周角所对的弧也相等；等腰梯形一定有外接圆；弦切角所夹弧的度数等于弦 切 角 的 度 数；在 圆 内 接 四 边 形 ABCD 中，ABCDmnpq，则有mpnq.其中错误的是()A B C D 选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂解析 错误，若弧不一样，则圆心角与圆周角的关系不确定错误，只有同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等正确，可以推出等腰梯形的对角互补，所以有外接圆错误，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，所夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数，所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度数的2倍正确，圆内接四边形ABCD的对角
5、互补答案 B选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂2如图所示，点 A、B、C 是圆 O 上的点，且 AB4，ACB30，则O 的面积为()A4 B8C12 D16选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂解析 连接 OA，OB，ACB30，AOB60.又OAOB，AOB 为等边三角形，而 AB4，OAOB4，故圆 O 的面积为 S4216.答案 D选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂3圆内接四边形 ABCD 中，A60，B90，AD4，CD3，则 BC 等于()A2 3B4 3C2 332D2 332选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂解析 如图，延长 DC，AB 交于点 P,则P30，所以A
6、P8，DP4 3，PC4 33，所以 BC2 332.答案 C选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂4(2015湖北高考)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC是圆的割线，且 BC3PB，则ABAC_.解析 设 PBt，则 BC3t，PC4t.由切割线定理：PA2PBPC，得 PA2t，PABPCA，ABACPAPC2t4t12.答案 12选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂5(2015广东高考)如图，已知 AB 是圆 O 的直径，AB4，EC是圆 O 的切线，切点为 C，BC1.过圆心 O 作 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P，则 OD_.选修4-1 几何证明
7、（选讲）创新大课堂解析 如图所示，连接 OC，因为 ODBC，又 BCAC，所以 OPAC，又 O 为 AB 线段的中点，所以 OP12BC12，在 RtOCD 中，OC12AB2，由直角三角形的射影定理可得 OC2OPOD，即 ODOC2OP 22128，故应填入 8答案 8选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂【考向互动探究】考点一 圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题【例 1】(2013新课标高考全国卷)如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于点 D.选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂(1)证明：DBD
8、C；(2)设圆的半径为 1，BC 3，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂思路点拨(1)根据角平分线的性质和弦切角定理得到 BECE，结合已知 DBBE，从而得到 DE 为直径，进而利用勾股定理证明两线段相等；(2)根据圆的切线 AB 及(1)的结论可以确定BCF 的形状，从而确定其外接圆的直径，求其半径选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂(1)证明：连接 DE，交 BC 于点 G.由弦切角定理得，ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE.又 DBBE，所以 DE 为直径，则DCE90，由勾股定理可得 DBDC.选修4-1
9、 几何证明（选讲）创新大课堂(2)解：由(1)知，CDEBDE，DBDC，故 DG 是 BC 的中垂线，所以 BG 32.设 DE 的中点为 O，连接 BO，则BOG60.从而ABEBCECBE30，所以 CFBF，故 RtBCF 外接圆的半径等于 32.选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂【名师说“法”】涉及圆的切线问题时常常利用弦切角定理实现弦切角与圆周角的相互转化，利用圆周角、圆心角定理及其推论实现圆周角、圆心角及所对弧的度数之间的相互转化选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂跟踪训练1(2015新课标高考全国卷)如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点 E.(1
10、)若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；(2)若 OA 3CE，求ACB 的大小选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂解：(1)连结 AE，由已知得，AEBC，ACAB.在 RtAEC 中，由已知得，DEDC，故DECDCE.连结 OE，则OBEOEB，又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，DE 是O 的切线选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂(2)设 CE1，AEx，由已知得 AB2 3，BE 12x2.由射影定理可得，AE2CEBE，所以 x2 12x2，即 x4x2120.可得 x 3，所以ACB60.选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂考点二 四点共
11、圆问题【例 2】(2013新课标高考全国卷)如图，CD 为ABC 外接圆的切线，AB的延长线交直线 CD 于点 D，E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BCAEDCAF，B、E、F、C 四点共圆(1)证明：CA 是ABC 外接圆的直径；(2)若 DBBEEA，求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂思路点拨(1)先利用弦切角定理得DCBA，然后利用三角形相似证明DBCEFA，从而利用四点共圆的条件得出CBA90，证得结论(2)根据条件确定过 B、E、F、C 四点的圆的直径及 CD 与CE 的关系，RtACD 中利用射影定理
12、用 DB 表示 CA，再用切割线定理用 DB 表示 DC2，从而得到两圆面积之比选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂(1)证明：因为 CD 为ABC 外接圆的切线，所以DCBA.由题设知BCFADCEA，故CDBAEF，所以DBCEFA.因为 B，E，F，C 四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA90，因此 CA 是ABC 外接圆的直径选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂(2)解：连接 CE，因为CBE90，所以过 B，E，F，C 四点的圆的直径为 CE.由 DBBE，有 CEDC.又 BC2DBBA2DB2，所以 CA24DB2BC26DB2.而CE2DC2DBDA3
13、DB2，故过 B，E，F，C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值为12.选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂互动探究 本题中已知条件不变，证明：DCEF.证明 由例知，EFAC，且 CA 是ABC 外接圆的直径，又 DC 是圆的切线，所以 DCAC，所以 DCEF.选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂【名师说“法”】圆内接四边形的性质定理是圆中探求角的相等或互补关系的常用定理，使用时要注意观察图形，要弄清四边形的外角和它的内对角的位置，其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据，解题时要注意相关角的定理的灵活应用选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂跟踪训练2.(2016唐山模拟)如图，
14、AB 为圆 O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为 E，弦 BM 与 CD 交于点 F.(1)证明：A，E，F，M 四点共圆(2)证明：AC2BFBMAB2.选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂证明 (1)连接 AM，则AMB90.因为 ABCD，所以AEF90.所以AMBAEF180，即 A，E，F，M 四点共圆.(2)连接 CB.由 A，E，F，M 四点共圆，所以 BFBMBEBA.在 Rt ACB 中，BC2BEBA，AC2BC2AB2，所以 AC2BFBMAB2.选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂考点三 与圆有关的比例线段【例 3】(2016太原模拟)如图，AB是圆 O
15、 的直径，M 为圆上一点，MEAB，垂足为 E，点 C 为圆 O 上任一点，AC，EM交于点 D，BC 交 DE 于点 F.求证：(1)AEEDFEEB.(2)EM2EDEF.思路点拨(1)利用相似三角形证明(2)利用相交弦定理证明选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂证明(1)因为 MEAB，所以B90BFED，所以AEDFEB，所以 AEEDFEEB.(2)延长 ME 与O 交于点 N，由相交弦定理，得 EMENEAEB，且 EMEN，所以 EM2EAEB，结合(1)知 EM2EDEF.选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂【名师说“法”】证明与圆有关的比例线段，常用到三角形相似、相交弦定
16、理、割线定理以及切割线定理等，同时要注意圆的有关性质，直角三角形中的射影定理、角平分线的性质的灵活运用选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂跟踪训练3(2014新课标高考全国卷)如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂证明(1)连结 AB，AC.由题设知 PAPD，故PADPDA，因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，从而BEEC，因此 BEEC.选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂(2)
17、由切割线定理得 PA2PBPC，因为 PAPDDC，所以 DC2PB，BDPB，由相交弦定理得 ADDEBDDC，所以 ADDE2PB2.选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂【考能感悟提升】规范答题 16 几何证明问题典例(本小题满分 10 分)如图，D，E分别为ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE交ABC 的外接圆于 F，G 两点若 CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂思路点拨(1)连接 AF，利用平行关系构造平行四边形可得结论；(2)先证BCD 和GBD 为等腰三角形，再证明两三角形顶角相等即可选修4-1 几何证明（选讲）创新大
18、课堂满分展示证明(1)因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以 DEBC.又已知 CFAB，故四边形 BCFD 是平行四边形，所以 CFBDAD.而 CFAD，连接 AF，所以四边形 ADCF 是平行四边形，故 CDAF.(5 分)因为 CFAB，所以 BCAF，故 CDBC.(6 分)选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂(2)因为 FGBC，故 GBCF.由(1)可知 BDCF，所以 GBBD，所以BGDBDG.(8 分)由 BCCD 知CBDCDB，又因为DGBEFCDBC，所以BCDGBD.(10 分)选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂【答题模板】处理与圆有关的比例线段的常见
19、思路：(1)利用圆的有关定理；(2)利用相似三角形；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系等选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂提醒：(1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决(2)证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂(3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角(4)圆内接四边形的性质
20、也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似创造了条件选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂即时突破 (2014新课标高考全国卷)如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CBCE.(1)证明：DE;(2)设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MBMC，证明：ADE 为等边三角形选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂证明(1)由题设知 A，B，C，D 四点共圆，所以DCBE.由已知得CBEE，故DE.选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂(2)设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 MBMC 知 MNBC，故 O 在直
21、线 MN 上又 AD 不是O 的直径，M 为 AD 的中点，故 OMAD，即 MNAD.所以 ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE.由(1)知，DE，所以ADE 为等边三角形选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂课堂小结【方法与技巧】1圆是轴对称图形，利用这一点可研究垂径定理和圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理关系定理使我们在圆心角、弧、弦、弦心距的证明中得以相互转化；垂径定理又可与等腰三角形的性质定理相沟通2直线和圆的相切的位置关系，以及由它引伸出来的一系列知识，如切线长定理、弦切角定理和圆有关的比例线段定理是本节的重点，利用上述定理可很方便地证明角相等、线段相等以及线段的比例问题选修4-
22、1 几何证明（选讲）创新大课堂3处理与圆有关的比例线段的常见思路：(1)利用相似三角形；(2)利用圆的有关定理；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系等4在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦，如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理，在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂【失误与防范】圆中的有关定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面，在与定理相关的图形不完整时，要借助辅助线补齐相应部分在解题时要注意总结一些添加辅助线的技巧在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割线就要想到割线定理；见到切线和割线就要想到切割线定理选修4-1 几何证明（选讲）创新大课堂谢谢观看！
