1、高考资源网（） 您身边的高考专家31.3函数的奇偶性内容标准学科素养1.结合具体函数，了解奇偶性的含义数学抽象直观想象逻辑推理2.学会运用函数的图像理解函数性质3.会利用函数奇偶性解决一些问题.授课提示：对应学生用书第50页教材提炼知识点函数的奇偶性1偶函数设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则这个函数叫做偶函数偶函数图像关于y轴对称2奇函数设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数奇函数图像关于原点对称自主检测1下列函数为奇函数的是()Ay|x|By3xCyDyx214答案：C2若函
2、数yf(x)，x2，a是偶函数，则a的值为()A2B2C0D不能确定答案：B3若点(1,3)在奇函数yf(x)的图像上，则f(1)等于()A0B1C3D3答案：D4已知f(x)是偶函数，且f(2)2，则f(2)f(2)_.答案：4授课提示：对应学生用书第50页探究一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x42x2；(2)f(x)x3；(3)f(x)；(4)f(x)(5)f(x).解析(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)(x)42(x)2x42x2f(x)，f(x)为偶函数(2)f(x)的定义域为(，0)(0，)，它关于原点对称，又f(x)(x)3f(x)，f(
3、x)为奇函数(3)f(x)的定义域为1,1，是两个具体数，但它关于原点对称，又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，f(x)既是奇函数，又是偶函数(4)函数f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)当x0时，x0，则f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)由知，当x(，0)(0，)时，都有f(x)f(x)，f(x)为奇函数(5)由题设得：函数f(x)定义域为1,0)(0,1，关于原点对称，且x20，|x2|x2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数函数奇偶性的判定方法(1)
4、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的对称区域，再判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于零，或判断是否等于1等用定义判断函数奇偶性的一般步骤：求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称用x代x，验证是否有f(x)f(x)或f(x)f(x)，若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，则f(x)为非奇非偶函数(2)图像法：奇(偶)函数的等价条件是它的图
5、像关于原点(y轴)对称判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x5；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x).解析：(1)函数的定义域为R.f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)，f(x)是奇函数(2)f(x)的定义域是R.f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，f(x)是偶函数(3)函数f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数探究二已知函数奇偶性求函数解析式例2(1)已知yf(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x22x，求f(x)在R上的解析式解析设x0，f(x)(x)22(x)x22x.又yf(x)是定义在R上的偶函数，f(x)f(
6、x)，f(x)x22x(x0)f(x)(2)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(2x)，求函数f(x)的解析式解析f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)，f(0)0.当x0时，x0，则f(x)x(2x)f(x)，f(x)x(x2)故f(x)(3)设函数yF(x)的定义域为m，m(m0)试探究yF(x)可否写为奇函数f(x)，与偶函数g(x)的和的形式，若能，求出f(x)与g(x)解析设f(x)g(x)F(x)，xm，mf(x)g(x)F(x)又f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(x)g(x)F(x)得，2g(x)F(x)F(x)，g(x)F(x)F(x)得，2f(
7、x)F(x)F(x)，f(x)F(x)F(x)故F(x)可写为f(x)g(x)的形式f(x)F(x)F(x)，g(x)F(x)F(x)利用函数奇偶性求函数解析式的步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)探究三已知奇偶性求值或参数例3(1)若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.(2)已知函数f(x)为奇函数，则ab_.(3)设f(x)是定义在R上的奇函数，且x0时，f(x)x22xb，则f(1)_.(4)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(
8、1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于_解析(1)f(x)为偶函数，f(x)f(x)，即(xa)(x4)(xa)(x4)，整理得，2a8，a4.(2)由题意知则当a1，b1时，经检验知f(x)为奇函数，故ab0.(3)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)b0，f(x)x22x(x0)，f(1)f(1)(12)3.(4)两式相加得g(1)3.答案(1)4(2)0(3)3(4)3利用函数奇偶性求参数值的方法(1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义，构造函数，从而使问题得到快速解决(2)在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数；若解析式中仅含有x的偶次
9、项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数(3)利用奇偶性求参数值时，应根据xR等式恒成立的特征求参数.1已知f(x)x5ax3bx8，若f(3)10，则f(3)()A26B18C10D26解析：法一：由f(x)x5ax3bx8，得f(x)8x5ax3bx.令G(x)x5ax3bxf(x)8，G(x)(x)5a(x)3b(x)(x5ax3bx)G(x)，G(x)是奇函数，G(3)G(3)，即f(3)8f(3)8.又f(3)10，f(3)f(3)16101626.法二：由已知条件，得得f(3)f(3)16，又f(3)10，f(3)26.答案：D2已知函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f，
10、求函数f(x)的解析式解析：f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，f(0)0，即0，b0，f(x).又fa，a1，函数f(x)的解析式为f(x).授课提示：对应学生用书第52页一、单调性与奇偶性珠联璧合的妙用(1)将函数的奇偶性与单调性相结合，可知：奇函数在(b，a)和(a，b)上有相同的单调性偶函数在(b，a)和(a，b)上有相反的单调性这里，区间(b，a)和(a，b)都在函数定义域内因此，若函数具有奇偶性，研究单调性或最值或作图像等问题，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得(2)研究函数的单调性、奇偶性必须在定义域上进行，如果没有给出定义域，则需先求出典例设定义在2,2上的
11、奇函数f(x)在区间0,2上是减函数，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解析因为f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是减函数，所以f(x)在2,2上是减函数所以不等式f(1m)f(m)等价于解得1m.二、由奇偶性的对称特点拓展的图像对称性1函数图像的轴对称f(x)在定义域内恒满足的条件yf(x)的图像的对称轴f(ax)f(ax)直线xaf(x)f(ax)直线xf(ax)f(bx)直线x2.函数图像的中心对称yf(x)在定义域内恒满足的条件yf(x)的图像的对称中心f(ax)f(ax)2b(a，b)f(x)f(ax)bf(ax)f(bx)c典例若函数yf(x)在(0,2)上是增函数，函数yf(x2)是偶函数，则下列结论正确的是()Af(1)ffBff(1)fCfff(1)Dff(1)f解析yf(x2)是偶函数，yf(x)的图像关于直线x2对称，f(1)f(3)又f(x)在(0,2)上为增函数，f(x)在(2,4)上为减函数，ff(1)f.答案B- 8 - 版权所有高考资源网
