1、32函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系内容标准学科素养1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系数学抽象数学运算直观想象2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式3.了解高次不等式的解法.授课提示：对应学生用书第53页教材提炼知识点一函数零点的概念一般地，如果函数yf(x)在实数处的函数值等于零，即f()0，则称为函数yf(x)的零点知识点二二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系函数yx22x3yx22x1yx22x3函数的图像方程的实数根x11，x23x1x21无实数根不等式的解集y0的解集(，1) (3，
2、)y0的解集(，1) (1，)y0的解集Ry0的解集(1,3)y0的解集y0；(2)x26x100.解析(1)方程4x24x10有两个相等的实根x1x2.作出函数y4x24x1的图像如图由图可得原不等式的解集为.(2)原不等式可化为x26x100，364040；(2)3x25x20.解析：(1)设f(x)x25x6，令f(x)0，得x25x60，即(x2)(x3)0，从而x2或x3，因此2和3都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图像与x轴相交于(2,0)和(3,0)，又因为函数的图像是开口向下的抛物线，所以可以作出函数图像，如图所示，由图可知：不等式的解集为(2,3)(2)设f(x)3x25
3、x2，令f(x)0，得3x25x20，即(x2)0，从而x2或x，因此2和都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图像与x轴相交于(2,0)和，又因为函数的图像是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图像，如图所示由图可知：不等式的解集为(，2.探究三高次不等式的解法例3求函数f(x)(2x1)(x1)(x3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)0和f(x)0的解集解析函数零点依次为，1,3.函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.x(1,3)(3，)f(x)由此可以画出函数图像的示意图如图所示由图可知f(x)0的解集为(3，)；f(x)0的解集为1,3数轴
4、穿根法解高次不等式的步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0(注意：一定要保证x前的系数为正数)；第二步：将不等号换成等号解出所有根；第三步：在数轴上从左到右依次标出各根；第四步：画穿根线：以数轴为标准，从最右根的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过第二个根，一上一下依次穿过各根；第五步：观察不等号，如果不等号为，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为，则取数轴下方，穿根线以内的范围.求函数f(x)(x1)(x2)(2x3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)0的解集解析：函数零点依次为2，1，.函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号
5、如下表所示.x(，2)(2，1)f(x)由此可以画出函数图像的示意图如图所示f(x)0的解集为(，2.授课提示：对应学生用书第54页一、研究函数零点的个数及参数范围将函数零点转化为两个函数图像的交点的横坐标从而利用图像直观想象函数的变化特征，得出交点个数进而得出参数的范围典例1.函数f(x)|x2|ln x在定义域内零点的个数为()A0B1C2D3解析由题意及函数零点的定义，知f(x)在(0，)内的零点即方程|x2|ln x0的根令y1|x2|，y2ln x(x0)，如图，在同一个直角坐标系中分别作出两个函数的图像由图像可得，两个函数图像有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点答案C2
6、规定x表示不超过x的最大整数，f(x) 若方程f(x)ax1有且仅有四个实数根，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.解析将“方程f(x)ax1有且仅有四个实数根”的问题，转化为分析函数yf(x)与yax1的图像交点问题当x0，)时，且f(x)xk，xk，k1)(kN)；当x(，0)时，f(x)是指数型函数，将yx的图像向下平移2个单位，则过点(0，1)，如图所示而直线yax1恒过定点(0,1)显然直线l1与函数图像的交点个数为4，直线l2与函数图像的交点个数为5，则当直线介于图中两条直线l1，l2之间时满足题意又l1的函数解析式为yx1，l2的函数解析式为yx1.故由图像直观想象，a的取值范围为.答案B二、忽略限制条件致错典例若函数f(x)x22ax2在区间0,4上至少有一个零点，则实数a的取值范围为_解析因为函数f(x)x22ax2在区间0,4上至少有一个零点，且f(0)20，所以或解得a4或a4，即a.所以实数a的取值范围为，)答案，)纠错心得函数yf(x)的零点可转化为方程f(x)0的实数根或函数yf(x)的图像与x轴交点的横坐标，解答零点个数问题时，应注意灵活应用如本例中，将原问题转化为函数f(x)的图像与x轴在0,4上至少有一个公共点
