1、专题二立体几何第1讲平行与垂直1. 2. 3. 4. 5. 【解析】由EF平面AB1C可得EFAC,点E为AD的中点,则F为DC的中点,所以EF=AC.而在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,EF=AC=2=.6. 【解析】因为AD与AB不垂直,所以不成立;又平面PAB平面PAE,所以平面PAB平面PBC也不成立;BCAD,所以BC平面PAD,所以直线BC平面PAE也不成立;在RtPAD中,PA=AD=2AB,所以PDA=45.7. (1) 连接AC1交A1C于点O,连接OE,OF,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形,所以OA=OC1.又因为F为AC中点
2、,所以OFCC1且OF=CC1.因为E为BB1中点,所以BECC1且BE=CC1,所以BEOF且BE=OF,所以四边形OEBF是平行四边形,所以BFOE.又BF平面A1EC,OE平面A1EC,所以BF平面A1EC.(2) 由(1)知BFOE,因为AB=CB,F为AC中点,所以BFAC,所以OEAC.又因为AA1底面ABC,而BF底面ABC,所以AA1BF,因为BFOE,所以OEAA1.而AA1,AC平面ACC1A1,且AA1AC=A,所以OE平面ACC1A1.因为OE平面A1EC,所以平面A1EC平面ACC1A1.8. (1) 因为四边形ABCD是菱形,ACBD=O,所以O是BD的中点.又E是
3、PB的中点,所以EOPD.因为EO平面PCD,PD平面PCD,所以EO平面PCD.(2) 因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以BDPA.又因为四边形ABCD是菱形,所以BDAC.因为PA,AC平面PAC,PAAC=A,所以BD平面PAC.又因为BD平面PBD,所以平面PBD平面PAC.9. (1) 如图,取BC的中点E,连接DE,则四边形ABED为正方形,过点P作PO平面ABCD,垂足为O.(第9题)连接OA,OB,OD,OE.由PAB和PAD都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,故OEBD,从而PBOE.因为O是BD的中点,E是B
4、C的中点,所以OECD.因此PBCD.(2) 如图,取PD的中点F,连接OF,则OFPB.由(1)知,PBCD,故OFCD.又OD=BD=,OP=,故POD为等腰三角形,因此OFPD.又PDCD=D,所以OF平面PCD.因为AECD,CD平面PCD,AE平面PCD,所以AE平面PCD.因此,点O到平面PCD的距离OF就是点A到平面PCD的距离,而OF=PB=1,所以点A到平面PCD的距离为1.10. (第10题)(1) 如图,设BD的中点为O,连接OC,OE,则由BC=CD知,COBD.又已知CEBD,所以BD平面OCE.所以BDOE,即OE是BD的垂直平分线,所以BE=DE.(2) 如图,取AB的中点N,连接MN,DN.因为M是AE的中点,所以MNBE.因为ABD是等边三角形,所以DNAB.由BCD=120知,CBD=30,所以ABC=60+30=90,即BCAB,所以NDBC,所以平面MND平面BEC.又DM平面MND,DM平面BEC,故DM平面BEC.
