1、广西南宁市第十中学2020-2021学年高二数学上学期段考试题（含解析）一、选择题1. 为了了解高一学生的身体发育情况，打算在高一年级10个班中某两个班按男女生比例抽取样本，正确的是（ ）A. 简单随机抽样B. 先用分层抽样，再用随机数表法C. 分层抽样D. 先用抽签法，再用分层抽样【答案】D【解析】【分析】根据抽样特点选择抽样方法即可.【详解】先从高一年级少数（10个）班级抽取两个，宜用抽签法，再从差异较大的男女生中按比例抽取学生，适合使用分层抽样，所以先用抽签法，再用分层抽样.故选：D.【点睛】本题考查了抽样方法的应用，解题时应该根据抽样特点选择抽样方法，属于基础题.2. 若1，4成等比数
2、列，则（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】根据等比中项性质可得，直接求解即可.【详解】由等比中项性质可得：，所以，故选：B3. 等差数列中，已知，则（ ）A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的性质可得，代入已知式子即可求解.【详解】由等差数列的性质可得，所以，解得：，故选：A4. 海上有、两个小岛相距10海里，从岛望岛和岛成60的视角，从岛望岛和岛成75的视角，则、间的距离是（ ）A. 10海里B. 5海里C. 海里D. 海里【答案】C【解析】【分析】先根据和求出，再根据正弦定理求即可.【详解】由题意可得：，所以，在中，根据正弦
3、定理可得：，所以，故选：C5. 已知ABC中，AB6，A30，B120，则ABC的面积为( )A. 9B. 18C. 9D. 18【答案】C【解析】【分析】由三角形内角和求出，由三角形的性质求出边BC，根据面积公式求出三角形面积.【详解】由三角形内角和：，故三角形等腰三角形，所以，由三角形面积公式：.故选C.【点睛】本题考查三角形面积公式以及三角形性质，注意面积公式中边与角的关系，求边长时也可以通过正弦定理.6. 已知等差数列满足，则其前10项之和为( )A. 140B. 280C. 168D. 56【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质可得，再利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】
4、由.故选：A【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.7. 已知在中，那么这个三角形的最大角是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由sinAsinBsinC357知三角形的三边之比为abc357，最大的边为c，最大的角为C由余弦定理得cosC，C120考点：本题主要考查正弦定理、余弦定理点评：简单题，达到综合考查两个定理的目的8. 如图，是以正方形的边为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先由圆的对称性得到图中阴影部分的面积，再用几何概型的概率公式进行求
5、解.详解：连接，由圆的对称性得阴影部分的面积等于的面积，易知，由几何概型的概率公式，得该点落在阴影区域内的概率为.故选D.点睛：本题的难点是求阴影部分的面积，本解法利用了圆和正方形的对称性，将阴影部分的面积转化为求三角形的面积.9. 某人抛一颗质地均匀的骰子，记事件A=“出现的点数为奇数”，B=“出现的点数不大于3”，则下列说法正确的是（ ）A. 事件A与B对立B. C. 事件A与B互斥D. 【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断【详解】因为骰子的点数1至6共6个正整数，因此事件和可能同时发生（如出现点数1），也可能同时不发生（如出现点数6），因此它们不互斥也不对立，A，B
6、，C均错，但，D正确.故选：D【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的概念，考查互斥事件的概率公式和古典概型的概率，属于基础题10. 苏果超市计划在2021年元旦期间举行特大优惠活动，凡购买商品达到88元者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分成6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，且其面积依次成公比为3的等比数列，指针箭头指在最小的1区域内就中“一等奖”，则消费达到88元者没有抽中一等奖的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出1区域的面积占比，再根据几何概型，即可得解.【详解】设区域1的面积占比为，有，所以，解得：，根据几何概型的性质可得：抽中
7、一等奖的概率是，故答案为：A.11. 若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，可得：故选：C.【点睛】本题主要考查了利用循环结构计算输出变量和数列求和，解题关键是掌握“裂项相消”求数列和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.12. 已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（ ）A. B. C. 2021D. 【答案】A【解
8、析】【分析】通过对二项展开式赋值求解出的值，然后通过所给的条件变形得到为等差数列，从而求解出的通项公式，即可求解出的值.【详解】令，得.又因，所以.由，得，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.解答问题时注意的运用.二、填空题13. 在中，若，则_.【答案】【解析】【分析】直接利用余弦定理直接求解，即可得解.【详解】由余弦定理可得：，所以，故答案为：14. 已知等差数列的通项公式，则它的公差为_.【答案】【解析】【分析】利用等差数列的定义可得出该数列的公差.【详解】因为数列为等
9、差数列，且.，因此，等差数列的公差为.故答案为：.【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式求公差，考查计算能力，属于基础题.15. 已知，为的三边，则_.【答案】0【解析】【分析】由B角利用余弦定理列式计算即得结果.【详解】，则，故.故答案为：0.16. 已知的前项和，数列的前5项和_.【答案】【解析】【分析】根据当时，当时也满足，故，而，利用裂项相消法即可 得解.【详解】当时，当时，满足上式，故，所以，故答案为：三、解答题17. 已知在等差数列中，；是各项都为正数的等比数列，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列，的前n项和.【答案】（1），；（2）的前n项和为，的前n项和为.【解析】【分析
10、】（1）根据题中条件，建立等量关系式，求得，利用求得结果；结合求得，从而求得公比，进而求得的通项公式；（2）直接利用等差数列和等比数列求和公式求得结果.【详解】解：（1）由，得，即，所以等差数列公差，则.即数列的通项公式为，由，得，即，由，所以等比数列的公比，所以.所以数列的通项公式为.（2）数列的前n项和为数列的前n项和为.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列和等比数列通项公式的求解，等差数列和等比数列求和公式的应用，属于简单题目.18. 从高二学生中抽取名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间，且成绩在区间
11、的学生人数是27人.（1）求，的值；（2）估计这次数学竞赛成绩中位数和平均分（结果保留一位小数）；（3）若从数学成绩（单位：分）在的学生中随机选取2人进行成绩分析.列出所有可能的抽取结果；设选取的2人中，成绩都在内为事件，求事件发生的概率.【答案】（1），；（2）中位数为，平均数为；（3）； 【解析】【分析】（1）利用小矩形的面积之和等于1，可得小矩形的高之和等于，即可求得的值，利用的学生人数是27人除以频率即可得的值；（2）根据中位数左右两边小矩形的面积之和都为即可求中位数，根据平均数等于每一小矩形底边中点的横坐标乘以小矩形的面积之和即可求解；（3）先求出成绩位于和的人数，即可列出所有可能的
12、基本事件以及事件包含的基本事件，利用古典概率公式即可求事件发生的概率.【详解】（1）由题意可得：，解得：，由，所以，；（2）成绩位于频率为 成绩位于的频率为， 所以中位数位于，设中位数为，则，解得平均数为，（3）成绩位于的有人记作，成绩位于的有人记作，随机选取2人，所有可能的结果为：，共有10个选取的2人中，成绩都在内为事件，则事件包含的基本事件有，共有3个，所以【点睛】结论点睛：频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算，直方图中各个小长方形的面积之和为；直方图中纵轴表示频率除以组距，故每组样本中的频率为组距乘以小长方形的高，即矩形的面积；直方图中每组样本的频数为频率乘以总数； 最高的小矩形
13、底边中点横坐标即是众数；中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19. 在中，的对边分别为，若，（1）求的大小；（2）若，求，的值.【答案】（1）（2），或，.【解析】分析：（1）利用正弦定理把化成，即为，从而解得.（2）利用余弦定理及构建关于的方程，解出.详解：（1）由已知得，.，.，所以，所以（2），即，又，或，点睛：三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道
14、两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.20. 为了分析某个高二学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议现对他高一阶段考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析下面是该生次考试的成绩数学x888311792108100112物理y949110896104101106（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的理由；（2）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？（参考数据： ，（参考公式：，）【答案】（1）物理成绩更稳定，理由见解析；（2）130.【解析】【分析
15、】（1）根据公式分别求出其平均数和方差，从而判断出结果；（2）分别求出和的值，代入从而求出线性回归方程，将代入，从而求出的值【详解】解：（1）甲的方差=乙的方差=甲的方差乙的方差他的物理成绩更稳定.（2）所以当时，.【点睛】本题考查了平均数及方差的公式，考查线性回归方程，属于基础题21. 在中,角、所对的边分别为、，角、的度数成等差数列，.（1）若，求的值；（2）求的最大值.【答案】(1)；(2)【解析】【详解】(1) 由角的度数成等差数列，得.又.由正弦定理，得,即.由余弦定理，得,即，解得.(2) 由正弦定理，得.由，得.所以当，即时，.【方法点睛】解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利
16、用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等22. 设数列的前项和为，且对任意正整数，点都在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）点都在直线上可得，利用递推关系可得：，再利用等比数列的通项公式即可得出（2）由，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出试题解析：（1）因为点,在直线上，所以，当时，两式相减得，即，又当时，所以是首项，公比的等比数列，数列的通项公式为.证明：由（1）知，则，两式相减得.
