1、第五节离散型随机变量的分布列、均值与方差1随机变量随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，表示2离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量3离散型随机变量的分布列(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1，2，n)的概率P(Xxi)pi，则表Xx1x2xixnPp1p2pipn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(Xxi)pi，i1，2，n表示X的分布列(2)性质：pi0(i1，2，n)；pi1.4离散型随机变量X的均值与方差均值(数学期望)方差计算公式E(X)x1p1x2p2xipixnpnD(X)_(x
2、iE(X)2pi作用反映了离散型随机变量取值的平均水平刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度标准差方差的算术平方根为随机变量X的标准差5.常见两类特殊的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其分布列为X01P1pp其中pP(X1)称为成功概率(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式：X01mP则称随机变量X服从超几何分布(3)两点分布的均值与方差：若随机变量X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p).均值与方差(1)均
3、值E(X)xipi.(2)方差D(X) (xiE(X)2piE(X2)E2(X).(3)若X服从两点分布，则D(X)max，此时p.(4)若a，b为常数，X是随机变量，则E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X).1(基础知识：分布列的概念)若某一射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数X7”的概率是()A0.88 B0.12C0.79 D0.09答案：A2(基础知识：分布列的性质)设随机变量X的分布列如下：X1234Pp则p为()A BC D答案：B3(基本方法：随机变量的期望)若离散型随机变量
4、X的分布列为X01P则X的数学期望E(X)()A2 B2或C D1答案：C4(基本能力：必然事件，单点分布的方差)若随机变量满足P(Xc)1，其中c为常数，则D(X)_答案：05(基本应用：离散型随机变量)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是_答案：0，1，2，3题型一离散型随机变量分布列的求法与性质 典例剖析典例(1)设随机变量X的分布列为X1234Pm求2X1的分布列解析：当X1、2、3、4时，2X1对应的值分别为3、5、7、9，其分布列为2X13579P(2)甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过
5、考试的概率依次为，.记甲同学三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列解析：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).随机变量X的分布列为X0123P方法总结1求离散型随机变量X的分布列的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能取值(2)求X取每个值的概率(3)写出X的分布列求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识2分布列的性质应用(1)每个随机变量对应的概率pi的范围为0，1，即要保证每个概率值均为非负数(2)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性(
6、3)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率对点训练1已知随机变量X的分布列为P(Xi)(i1，2，3，4)，则P(2X4)等于()A BC D解析：由分布列的性质知，1，则a5.P(20；当x(400，600时，f(X)g(Y)f(X)g(X)(1 8004X)(2 1004X)300g(Y)；当X(400，600时，f(X)g(Y).(2)甲的日送餐量x的分布列为x131416171820P乙的日送餐量y的分布列为y111314151618P则E(x)13141617182016，E(y)11131415161814.E(X)30E(x)48
7、0，480(300，600；E(Y)30E(y)420，420(400，).所以A公司外卖配送员的平均月薪约为1 8004E(X)3 720(元)，B公司外卖配送员的平均月薪约为2 1004E(Y)3 780(元)，因为3 720E(Y2)，所以该医院选择延保方案二更合适题型三超几何分布 典例剖析典例(2020河南洛阳联考)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随
8、机变量X，求X的分布列及数学期望解析：(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为2.3.(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，P(X1)P(A)P(B)，P(X2)P(C)，P(X0)P(D)，X的分布列为X012PE(X)012.方法总结对于超几何分布的判断(1)特点：超几何分布是不放回抽
9、样问题随机变量为抽到的某类个体的个数(2)条件与实质：条件：a.考察对象分两类；b.已知各类对象的个数；c.从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布实质：古典概型问题对点训练有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是()A7.8 B8C16 D15.6解析：X的取值为6，9，12，相应的概率P(X6)，P(X9)，P(X12).E(X)69127.8.答案：A(2019高考全国卷)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成1010平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛
10、，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立在某局双方1010平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束(1)求P(X2)；(2)求事件“X4且甲获胜”的概率解析：(1)X2就是1010平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分或者均由乙得分因此P(X2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5.(2)X4且甲获胜，就是1010平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5(10.4)(10.5)0.40.50.40.1. 素养升华离散型随机变量分布列性质的交汇问题1已知随机变量的分布列如下表：101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|1)的值与公差d的取值范围分别是()ABC D解析：a，b，c成等差数列，2bac.又abc1，b，P(|1)ac.则ad，cd，根据分布列的性质，得0d，0d，d.答案：A2已知随机变量X的概率分布列如下表：X12345678910Pm则P(X10)()A BC D解析：由离散型随机变量分布列的性质可知m1，m112，P(X10).答案：C
