1、上海市静安区2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题1. 若一个实系数一元二次方程的一个根是，则此方程的两根之积为_.【答案】5【解析】【分析】首先根据题意得到另一个根为，再计算两根之积即可.【详解】因为一个实系数一元二次方程的一个根是，所以另一个根为.则两根之积为.故答案为：【点睛】本题主要考查复数中的共轭复数，属于简单题.2. 的平方根为_【答案】【解析】【分析】根据可得出的平方根.【详解】，因此，的平方根为.故答案为.【点睛】本题考查负数的平方根的求解，要熟悉的应用，考查计算能力，属于基础题.3. 如图，在正四棱柱中，则与所成角的余弦值为_.【答案】【解析】【
2、分析】把平移到，找出异面直线所成角，结合余弦定理可求结果.【详解】在正四棱柱中，易知，所以或其补角为与所成角，在中，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查异面直线所成角，平移法是常用方法，结合三角形中余弦定理是解题的关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.4. 的二项展开式中项的系数为_.【答案】160【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项，利用的指数为3，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得结果.【详解】解：的展开式的通项为，令，得，所以的二项展开式中项的系数为，故答案为：160【点睛】此题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.5. 设、是半径为1的球面
3、上一个大圆上的两点，且，则、两点的球面距离为_.【答案】【解析】【分析】若设球心为，由于球的半径为1，且，则可得，然后利用弧长公式求解即可.【详解】解：设球心为，因为、是半径为1的球面上一个大圆上的两点，且，所以，所以、两点的球面距离为，故答案为：【点睛】此题考查球有关知识，考查弧长公式，属于基础题.6. 在3名男生和4名女生中选出3人，男女生都有选法有_种.【答案】30【解析】【分析】用全部情况减去全男生和全女生的情况，即可得到答案.【详解】由题知：从人中选共有种情况，全是男生有种情况，全是女生有种情况，故男女生都有的选法有种.故答案为：【点睛】本题主要考查组合的实际问题，间接法为解题的关键
4、，属于简单题.7. 由一条直线和直线外的5个点可确定平面的个数最多为_.【答案】15【解析】【分析】根据题意，分析可得当直线外的5个点任意三点不共线时，确定的平面个数最多，进而分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案【详解】根据题意，当直线外的5个点任意三点不共线时，确定的平面个数最多，此时这5个点可以确定个平面，直线和直线一点可以确定一个平面，可以确定个平面，则一共可以确定个平面；故答案为：15.【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及平面的确定方法，属于基础题8. 请列举出用0，1，2，3，4这5个数字所组成的无重复数字且比3000大的，且相邻的数字的奇偶性不同的所有四位数奇数，它们分别是_.【
5、答案】4103，4301，4123，4321【解析】【分析】由千位上的数字为4，再根据相邻的数字的奇偶性不同、无重复数字，即可得答案；【详解】由题意得：千位上的数字为4，再根据相邻的数字的奇偶性不同、无重复数字，所有的四位数奇数为：4103，4301，4123，4321.故答案为：4103，4301，4123，4321.【点睛】本题考查分类与分步原理的简单运用，考查运算求解能力，属于基础题.二、选择题9. 复数与复数的积为实数，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把所给的两个复数相乘，得到积所对应的复数，因为要使积是一个实数，所以积的虚部是零，得到关于a，b，c，d之间的关
6、系【详解】（a+bi）（c+di）acbd+（ad+bc）i，复数a+bi与复数c+di的积是实数，所得的复数的积的虚部是零，ad+bc0故选：A【点睛】本题是一个考查复数概念的题目，在考查概念时，题目要先进行乘除运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，属于基础题10. 垂直于同一直线的两条不同的直线平行；垂直于同一平面的两条不同的直线平行；平行于同一平面的两条不同的直线平行；平行于同一直线的两条不同的直线平行.以上4个关于空间直线与平面的命题中真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由题意结合线线、线面位置关系逐项判断即可得解.【详解】对于，在空间中，
7、垂直于同一直线的两条不同的直线可能平行、相交或异面，故错误；对于，由线面垂直的性质可得垂直于同一平面的两条不同的直线平行，故正确；对于，平行于同一平面的两条不同的直线可能平行、相交或异面，故错误；对于，由平行的传递性可得平行于同一直线的两条不同的直线平行，故正确.故选：B.【点睛】本题考查了线线、线面位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题.三、解答题11. （1）设、，求证：；（2）请利用二项式定理证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据组合数公式证明即可；（2）由于，利用二项式定理将展开，然后利用放缩法可证得结果.【详解】证：（1）；（2）当，时
8、，,所以结论成立.【点睛】此题考查了组合数公式和二项式定理的应用，考查了计算能力，属于基础题.12. 如图，菱形的边长为2，将沿翻折，使点移至点.（1）求证：；（2）若二面角的平面角为，求与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）结合菱形的性质和线面垂直的判定定理可证得面，再由线面垂直的性质定理即可得证；（2）过点作于，结合（1）中的结论可知面，即点在面上的投影为点，于是可推出为直线与面所成角，为二面角的平面角，再证明为等边三角形即可得解【详解】（1）取的中点，连接、，为菱形，、面，且，面，又面，（2）过点作于，由（1）可知，面，即点在面上的投影为点，为直线与面
9、所成角，为二面角的平面角，即，又，为等边三角形，故直线与平面所成角为【点睛】本题考查空间线面的位置关系，面与面、线与面的夹角问题，熟练运用空间线面垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力13. 如图，我们知道，圆锥是（及其内部）绕所在的直线旋转一周形成的几何体.我们现将直角梯形（及其内部）绕所在的直线旋转一周形成的几何体称为圆台.设的半径为，的半径为，.（1）求证：圆台的体积；（2）若，求圆台的表面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据三角形相似，得出，利用两个圆锥体积之差可得圆台体积；（2）利用大圆锥的侧面积减去小圆锥的侧面
10、积可得圆台的侧面积，再加上圆台的底面积即可.【详解】（1）证明：，解得，.（2）在中，过点作，是垂足，则在中，所以该圆台的表面积.【点睛】本题主要考查圆台的体积公式证明及表面积的求解，明确圆台与圆锥间的关系是解题的关键，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.14. 现新定义两个复数（、）和（、）之间的一个新运算，其运算法则为：.（1）请证明新运算对于复数加法满足分配律，即求证：；（2）设运算为运算的逆运算，请推导运算的运算法则.【答案】（1）证明见解析；（2）当，时，推导过程见解析【解析】【分析】（1）直接利用复数代数形式的乘法运算和新运算进行化简，解得等式左边等于等式右边，即证由题可知的运算结果是关于变量的方程的解，设，则，通过新运算运算，根据两复数相等，解得当，时，即可得【详解】（1）证：设（、）.左右左=右，证毕.（2）因为运算为运算的逆运算，所以的运算结果是关于变量的方程的解.设（、），则，即.当，时，解得，.，故，当，时，.【点睛】本题考查复数的运算法则，和新定义类题目，考查逻辑推理能力、运算求解能力
