1、上海市静安区2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)一、填空题1. 若一个实系数一元二次方程的一个根是,则此方程的两根之积为_.【答案】5【解析】【分析】首先根据题意得到另一个根为,再计算两根之积即可.【详解】因为一个实系数一元二次方程的一个根是,所以另一个根为.则两根之积为.故答案为:【点睛】本题主要考查复数中的共轭复数,属于简单题.2. 的平方根为_【答案】【解析】【分析】根据可得出的平方根.【详解】,因此,的平方根为.故答案为.【点睛】本题考查负数的平方根的求解,要熟悉的应用,考查计算能力,属于基础题.3. 如图,在正四棱柱中,则与所成角的余弦值为_.【答案】【解析】【
2、分析】把平移到,找出异面直线所成角,结合余弦定理可求结果.【详解】在正四棱柱中,易知,所以或其补角为与所成角,在中,所以.故答案为:.【点睛】本题主要考查异面直线所成角,平移法是常用方法,结合三角形中余弦定理是解题的关键,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.4. 的二项展开式中项的系数为_.【答案】160【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项,利用的指数为3,求出参数的值,再将参数的值代入通项可得结果.【详解】解:的展开式的通项为,令,得,所以的二项展开式中项的系数为,故答案为:160【点睛】此题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数,考查计算能力,属于基础题.5. 设、是半径为1的球面
3、上一个大圆上的两点,且,则、两点的球面距离为_.【答案】【解析】【分析】若设球心为,由于球的半径为1,且,则可得,然后利用弧长公式求解即可.【详解】解:设球心为,因为、是半径为1的球面上一个大圆上的两点,且,所以,所以、两点的球面距离为,故答案为:【点睛】此题考查球有关知识,考查弧长公式,属于基础题.6. 在3名男生和4名女生中选出3人,男女生都有选法有_种.【答案】30【解析】【分析】用全部情况减去全男生和全女生的情况,即可得到答案.【详解】由题知:从人中选共有种情况,全是男生有种情况,全是女生有种情况,故男女生都有的选法有种.故答案为:【点睛】本题主要考查组合的实际问题,间接法为解题的关键
4、,属于简单题.7. 由一条直线和直线外的5个点可确定平面的个数最多为_.【答案】15【解析】【分析】根据题意,分析可得当直线外的5个点任意三点不共线时,确定的平面个数最多,进而分2种情况讨论,由加法原理计算可得答案【详解】根据题意,当直线外的5个点任意三点不共线时,确定的平面个数最多,此时这5个点可以确定个平面,直线和直线一点可以确定一个平面,可以确定个平面,则一共可以确定个平面;故答案为:15.【点睛】本题考查排列组合的应用,涉及平面的确定方法,属于基础题8. 请列举出用0,1,2,3,4这5个数字所组成的无重复数字且比3000大的,且相邻的数字的奇偶性不同的所有四位数奇数,它们分别是_.【
5、答案】4103,4301,4123,4321【解析】【分析】由千位上的数字为4,再根据相邻的数字的奇偶性不同、无重复数字,即可得答案;【详解】由题意得:千位上的数字为4,再根据相邻的数字的奇偶性不同、无重复数字,所有的四位数奇数为:4103,4301,4123,4321.故答案为:4103,4301,4123,4321.【点睛】本题考查分类与分步原理的简单运用,考查运算求解能力,属于基础题.二、选择题9. 复数与复数的积为实数,则()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把所给的两个复数相乘,得到积所对应的复数,因为要使积是一个实数,所以积的虚部是零,得到关于a,b,c,d之间的关
6、系【详解】(a+bi)(c+di)acbd+(ad+bc)i,复数a+bi与复数c+di的积是实数,所得的复数的积的虚部是零,ad+bc0故选:A【点睛】本题是一个考查复数概念的题目,在考查概念时,题目要先进行乘除运算,复数的加减乘除运算是比较简单的问题,属于基础题10. 垂直于同一直线的两条不同的直线平行;垂直于同一平面的两条不同的直线平行;平行于同一平面的两条不同的直线平行;平行于同一直线的两条不同的直线平行.以上4个关于空间直线与平面的命题中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由题意结合线线、线面位置关系逐项判断即可得解.【详解】对于,在空间中,
7、垂直于同一直线的两条不同的直线可能平行、相交或异面,故错误;对于,由线面垂直的性质可得垂直于同一平面的两条不同的直线平行,故正确;对于,平行于同一平面的两条不同的直线可能平行、相交或异面,故错误;对于,由平行的传递性可得平行于同一直线的两条不同的直线平行,故正确.故选:B.【点睛】本题考查了线线、线面位置关系的判断,考查了空间思维能力,属于基础题.三、解答题11. (1)设、,求证:;(2)请利用二项式定理证明:.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据组合数公式证明即可;(2)由于,利用二项式定理将展开,然后利用放缩法可证得结果.【详解】证:(1);(2)当,时
8、,,所以结论成立.【点睛】此题考查了组合数公式和二项式定理的应用,考查了计算能力,属于基础题.12. 如图,菱形的边长为2,将沿翻折,使点移至点.(1)求证:;(2)若二面角的平面角为,求与平面所成角的大小.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】【分析】(1)结合菱形的性质和线面垂直的判定定理可证得面,再由线面垂直的性质定理即可得证;(2)过点作于,结合(1)中的结论可知面,即点在面上的投影为点,于是可推出为直线与面所成角,为二面角的平面角,再证明为等边三角形即可得解【详解】(1)取的中点,连接、,为菱形,、面,且,面,又面,(2)过点作于,由(1)可知,面,即点在面上的投影为点,为直线与面
9、所成角,为二面角的平面角,即,又,为等边三角形,故直线与平面所成角为【点睛】本题考查空间线面的位置关系,面与面、线与面的夹角问题,熟练运用空间线面垂直的判定定理与性质定理是解题的关键,考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力13. 如图,我们知道,圆锥是(及其内部)绕所在的直线旋转一周形成的几何体.我们现将直角梯形(及其内部)绕所在的直线旋转一周形成的几何体称为圆台.设的半径为,的半径为,.(1)求证:圆台的体积;(2)若,求圆台的表面积.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)根据三角形相似,得出,利用两个圆锥体积之差可得圆台体积;(2)利用大圆锥的侧面积减去小圆锥的侧面
10、积可得圆台的侧面积,再加上圆台的底面积即可.【详解】(1)证明:,解得,.(2)在中,过点作,是垂足,则在中,所以该圆台的表面积.【点睛】本题主要考查圆台的体积公式证明及表面积的求解,明确圆台与圆锥间的关系是解题的关键,侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.14. 现新定义两个复数(、)和(、)之间的一个新运算,其运算法则为:.(1)请证明新运算对于复数加法满足分配律,即求证:;(2)设运算为运算的逆运算,请推导运算的运算法则.【答案】(1)证明见解析;(2)当,时,推导过程见解析【解析】【分析】(1)直接利用复数代数形式的乘法运算和新运算进行化简,解得等式左边等于等式右边,即证由题可知的运算结果是关于变量的方程的解,设,则,通过新运算运算,根据两复数相等,解得当,时,即可得【详解】(1)证:设(、).左右左=右,证毕.(2)因为运算为运算的逆运算,所以的运算结果是关于变量的方程的解.设(、),则,即.当,时,解得,.,故,当,时,.【点睛】本题考查复数的运算法则,和新定义类题目,考查逻辑推理能力、运算求解能力