1、高三数学单元练习题：导数（）第卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.1（理）设a、b、c、dR，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是（ ）Aadbc=0 Bacbd=0 Cac+bd=0 Dad+bc=0 （文）曲线在点（1，3）处的切线方程是（ ）ABC D2函数，已知在时取得极值，则=（ ）A2 B3C4D5 3（理）复数z在复平面内对应的点为A, 将点A绕坐标原点, 按逆时针方向旋转, 再向左平移一个单位, 向下平移一个单位, 得到B点, 此时点B与点A恰好关于坐标原点
2、对称, 则复数z为 （ ）A1 B1 Ci D i （文）如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则 的表达式为（ ）AB C D4（理）复数等于（ ）A B C D （文）函数y=2x33x212x+5在0,3上的最大值与最小值分别是（ ）A5 , 15 B5 , 4 C4 , 15 D5 , 165设f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2006(x)（ ）Asinx Bsinx Ccosx Dcosx6（理）若复数（aR，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为A2 B4 C6 D6 （文）函数的定义域为开区间，导函数在内的
3、图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点 （ ）A1个 B2个 C3个D 4个7函数y=f(x) 的图象过原点且它的导函数y=f(x)的图象是如 图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在 （ ）A第I象限B第II象限C第象限D第IV象限8（理）若复数满足方程，则（ ）A B C D （文）下列式子中与相等的是 （ ）（1）； （2）； （3） （4）.A（1）（2） B（1）（3） C（2）（3） D（1）（2）（3）（4）9（理）设z1, z2是非零复数满足z12+ z1z2+ z22=0, 则()2+()的值是 （ ） A1 B1 C2 D2 （文）对于上的任意函数，若满足，则必有（
4、） 10设函数的图象上的点处的切线的斜率为，若，则函数的图象大致为（ ）A B C D11设，当时取得极大值，当时取得极小值，则的取值范围为（ ）A B C D12（理）若，令，则的值（其中）（ ）A1 B C D （文）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）A B C D第卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。13曲线在点（1，1）处的切线方程为 .14（理）已知复数：，复数满足，则复数 . （文）设函数。若是奇函数，则_。15曲线y=x3在点(1,1)处的切线
5、与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_ _.16（理）若非零复数满足,则的值是 . （文）等边三角形的高为8cm时, 面积对高的变化率为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。17（12分）（理）求同时满足下列条件的所有的复数z, z+R, 且1z+6, z的实部和虚部都是整数。 （文）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0x120).已知甲、乙两地相距100千米。 （）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （）当汽车以多大的速度匀速行驶
6、时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？OxBCyA18（12分）（理）已知复数 满足，复平面内有RtABC，其中BAC=90，点A、B、C分别对应复数，如图所示，求z的值。 （文）已知函数在点处取得极大值5，其导函数 的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求： （）的值； （）a，b，c 的值. 19（12分）（理）抛物线y=ax2bx在第一象限内与直线xy=4相切此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S求使S达到最大值的a、b值，并求Smax （文）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。 （）求数列的通项公式； （）设，是数列的前n项和，求
7、使得对所有都成立的最小正整数m；20（12分）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？21（12分）已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有 （）证明； （）证明 其中和均为常数； （）当（）中的时，设，讨论在内的单调性并求极值。22（14分）设函数. （）证明,其中为k为整数； （）设为的一个极值点，证明； （）设在(0,+)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,证明参考答案（12）一、选择题1（理）D（文）D；2B；3（理）B（文）D；4（理）A（文）A；5B；6
8、（理）C（文）A；7A；8（理）C（文）B；9（理）C（文）C；10A；11D；12（理） C（文）B；二、填空题13x+y2=0；14（理）（文）；15；161（文）。三、解答题17（理）解：设z=x+yi, (x, yR), 则z+=x(1+)+y(1)i . z+R, y(1)=0. y=0, 或x2+y2=10. 又1z+6, 1 x(1+)6.当y=0时, 可以化为1x+6, 当x0时, x+0时, x+26. 故y=0时, 无解. 当x2+y2=10时, 可化为12x6, 即x3.x, yZ, 故可得z=1+3i ,或 13i ,或 3+i ,或 3i . （文）解: （1）当x=
9、40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时,要耗油(.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升. （2）当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了设耗油量为h(x)升，衣题意得h(x)=(),h(x)=，（0x120令h(x)=0，得x=80.当x(0,80)时，h(x)0,h(x)是减函数;当x(80,120)时，h(x)0,h(x)是增函数.当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.18（理）解法一：由，得A
10、点坐标为（a，b）。由，得B点坐标为（）由，得B点坐标为（）再有，且可得得。解法二：容易验证恒成立，由于，即为，将其变形为，化简得，从而得到。 （文）解法一： （）由图象可知，在（，1）上,在(1,2)上,在上, 故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以. （)由得解得解法二: （）同解法一. （）设又所以 由,即得,所以.19（理）解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=b/a，所以(1)又直线xy=4与抛物线y=ax2bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2(b1)x4=0，其判别式必须为0，即(b1)216a=0于是代入（1）式得
11、：，；令S(b)=0；在b0时得唯一驻点b=3，且当0b3时，S(b)0；当b3时，S(b)0故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=1，b=3时，S取得最大值，且。 （文）解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （） （）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为1
12、0.20解：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1x2时，,V(x)为增函数；当2x4时，,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答当OO1为2m时，帐篷的体积最大。21证明（）令，则，。 （）令，则。假设时，则，而，即成立。令，假设时，则，而，即成立。成立。 （）当时，令，得；当时，是单调递减函数；当时，是单调递增函数；所以当时，函数在内取得极小值，极小值为22（）证明：由函数f (x)的定义，对任意整数k，有 （）证明：函数 显然，对于满足上述方程的x有，上述方程化简为如图所示，此方程一定有解， 由 （）证明：即在第二或第四象限内.由式，在第二象限或第四象限中的符号可列表如下：xx0的符号k为奇数0+k为偶数+0所以满足的正根x0都为的极值点.由题设条件，的全部 正实根且满足 那么对于n=1,2, 由于由于由式知必在第二象限，即综上，
