1、高三数学单元练习题：立体几何（）第卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.1一条直线与一个平面所成的角等于，另一直线与这个平面所成的角是. 则这两条直 线的位置关系（ ）A必定相交 B平行 C必定异面 D不可能平行2在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为13，则锥 体被截面所分成的两部分的体积之比为（ ）A1B19C1D13正方体中，、分别是、的中点那么，正 方体的过、的截面图形是（ ）A三角形 B四边形 C五边形 D六边形4正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧
2、棱与底面所成的角为（ ）A75B60C45D305对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（ ）A如果、n是异面直线，那么B如果、n是异面直线，那么相交C如果、n共面，那么D如果、n共面，那么6已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，长为定值的线段EF在棱AB上移动（EFa）， 若P是A1D1上的定点，Q是C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积是（ ）A有最小值的一个变量 B有最大值的一个变量C没有最值的一个变量 D是一个常量7已知平面所成的二面角为80，P为、外一定点，过点P的一条直线与、 所成的角都是30，则这样的直线有且仅有（ ）A1条B2条C3条 D4条8如图所示，在水平横梁
3、上A、B两点处各挂长为50cm的细线AM、 BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm的木条MN平行 于横梁，木条中点为O，若木条绕O的铅垂线旋转60，则木条 比原来升高了（）A10cmB5cmC10cmD5cm9如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的 边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各 面）是（ ）A258 B234 C222 D21010在半径为的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ）A B C D11底面边长为a，高为h的正三棱锥内接一个
4、正四棱柱（此时正四棱柱上底面有两个顶点在同一个侧面内），此棱柱体积的最大值（ ）A B C D12将半径都为的个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）A B2+ C4+ D第卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）.13某地球仪上北纬纬线的长度为，该地球仪的半径是_cm，表面积是_cm2.14如图，矩形ABCD中，DC=，AD=1，在DC上截取DE=1，将ADE沿AE翻折到D1点，点D1在平面ABC上的射影落ABCDA1B1C1D1第15题图A1在AC上时，二面角D1AEB的平面角的余弦值是 .15多面体上位于同一条棱两端的顶
5、点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3； 4； 5； 6； 7以上结论正确的为_.B1A1DAFECC1B（写出所有正确结论的编号）16如图，在透明材料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌注一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜根据倾斜度的不同，有下列命题： （1）水的部分始终呈棱柱形； （2）水面四边形EFGH的面积不会改变； （3）棱A1D1始终与水面EFGH平行； （4）当容器倾斜如图所示时，BEBF是定值。其中所有正确命题的
6、序号是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本 大题共6个大题，共74分）.17（12分）在平面内有ABC，在平面外有点S，斜线SAAC，SBBC，且斜线SA、SB与平面所成角相等. （I）求证：AC=BC； （II）又设点S到的距离为4cm，ACBC且AB=6cm，求S与AB的距离.18（12分）平面EFGH分别平行空间四边形ABCD中的CD与AB且交BD、AD、AC、BC于E、F、G、H.CD=a，AB=b，CDAB （I）求证EFGH为矩形； （II）点E在什么位置，SEFGH最大?19（12分）设ABC和DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC
7、=120. 求： （I）直线AD与平面BCD所成角的大小； （II）异面直线AD与BC所成的角的大小； （III）二面角ABDC的平面角正切值大小.20（12分）如图，四边形ABCD是矩形，PA平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在线段PD上存在点E使得BECE，求线段AD的取值范围，并求当线段PD上有且只有一个点E使得BECE时，二面角EBCA正切值的大小.PBCAD21（12分）如图，四棱锥PABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB底面ABCD （I）证明：侧面PAB侧面PBC； （II）求侧棱PC与底面ABCD所成的角； （III）求直线AB与平面
8、PCD的距离22（14分）在直角梯形ABCD中，D=BAD=90，AD=DC=AB=a（如图9712 （1），将ADC沿AC折起，使D到D，记面ACD为，面ABC为，面BCD为. （I）若二面角AC为直二面角（如图9712（2），求二面角BC的大小； （II）若二面角AC为60（如图9712（3），求三棱锥D一ABC的体积参考答案（3）一、选择题1D；2D；3D；4C；5C；6D；7D；8A；9C；10B；11B；12B；二、填空题13，；14；15；16；三、解答题17（1）证明：过S作SO面ABC于O S到AB的距离为=5cm.又ABCDEFFGEFGH为矩形. （2）AG=x，AC=m，
9、 ，GH=x GF=（mx） SEFGH=GHGF=x（mx） =（mxx2）= （x2+mx+）=（x）2+ 当x=时，SEFGH最大=19解：（1）如图973所示，在平面ABC内，过A作AHBC，垂足为H，则AH平面DBC，连结DH，故ADH为直线AD与平面BCD所成的角.由题设知，AHBDHB，则DHBH，AH=DH.ADH=45为所求. （2）BCDH，且DH为AD在平面BCD上的射影，BCAD，故AD与BC所成的角为90. （3）过H作HRBD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知ARBD，故ARH为二面角ABDC的平面角的补角.设BC=a，则由题设得AH=DH=，BH=，BD=BC
10、=a.在HDB中，求得HR=.tanARH=2.故二面角ABDC的正切值大小为2.20若以BC为直径的球面与线段PD有交点E，由于点E与BC确定的平面与球的截面是一个大圆，则必有BECE，因此问题转化为以BC为直径的球与线段PD有交点。设BC的中点为O（即球心），再取AD的中点M，易知OM平面PAD，作MEPD交PD于点E，连结OE，则OEPD，所以OE即为点O到直线PD的距离，又因为ODOC，OPOAOB，点P，D在球O外，所以要使以BC为直径的球与线段PD有交点，只要使OEOC（设OC=OB=R）即可。由于DEMDAP，可求得ME= ， 所以OE2=9+ 令OE2R2，即9+ R2 ，解之
11、得R2；所以AD=2R4，所以AD的取值范围 4，+，当且仅当AD= 4时，点E在线段PD上惟一存在，此时易求得二面角EBCA的平面角正切值为。21（I）证明：在矩形ABCD中，BCAB又面PAB底面ABCD侧面PAB底面ABCD=ABBC侧面PAB 又BC侧面PBC侧面PAB侧面PBC） （II）解：取AB中点E，连结PE、CE又PAB是等边三角形 PEAB 又侧面PAB底面ABCD，PE面ABCDPCE为侧棱PC与底面ABCD所成角在RtPEC中，PCE=45为所求 （）解：在矩形ABCD中，AB/CDCD侧面PCD，AB侧面PCD，AB/侧面PCD取CD中点F，连EF、PF，则EFAB又
12、PEAB AB平面PEF 又AB/CDCD平面PEF 平面PCD平面PEF作EGPF，垂足为G，则EC平面PCD在RtPEF中，EG=为所求.22解：（1）在直角梯形ABCD中，由已知DAC为等腰直角三角形，AC=a，CAB=45.由AB=2a，可推得BC=AC=a，ACBC.取AC的中点E，连结DE，如图9713，则DEAC.二面角AC为直二面角，DE.又BC平面，BCDE. BC.而DC，BCDC.DCA为二面角BC的平面角.由于DCA=45，二面角BC为45. （2）如图9714，取AC的中点E，连结DE，再过D作DO，垂足为O，连结O E.ACDE，ACOE.DEO为二面角AC的平面角.DEO=60.在RtDOE中，DE=AC=a，DO=DEsin60=SABCDO= ACBCDO=.
