1、1.2 集合的基本关系 最 新课标(1)在具体情景中,了解空集的含义(2)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.教材要点要点一 子集文字语言符号语言图形语言 对于两个集合 A,B,如果集合 A 中_元素都属于集合 B,那么称集合 A 是集合 B 的子集若 aA,则 aB,记作_,读作“A 包含于 B”(或“B包含 A”)任何一个AB(BA)状元随笔 “A 是 B 的子集”的含义是:集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素,即任意 xA 都能推出 xB.要点二 集合相等文字语言:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 是集合 B 的子集,且集合 B 也是集合 A 的子集,那么
2、称集合 A 与集合 B 相等,记作_符号语言:若 AB,且 BA,则 AB.AB状元随笔 1.若 A B,且 B A,则 AB;反之,如果 AB,则 A B,且 B A.2若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素排列顺序无关要点三 真子集文字语言:对于两个集合 A 与 B,如果_,那么称集合 A 是集合 B 的真子集符号语言:A B(或 B A)AB,且 AB状元随笔 在真子集的定义中,A B 首先要满足 A B,其次至少有一个 xB,但 xA.要点四 空集不含_元素的集合叫作空集,记为.规定:空集是任何集合的子集状元随笔 空集是不含任何元素的集合,且规定,任何时候 x都不成立,x是永恒
3、的真命题不是空集,中含有一个元素.作为元素,则;作为集合,则任何要点五 子集的性质1任何一个集合都是它本身的子集,即 AA.2对于集合 A,B,C,若 AB,BC,则 AC.基础自测1判断正误(正确的画“”,错误的画“”)(1)和表示的意义相同()(2)0,11,0(0,1)()(3)实 数 中“”类 似 于 集 合 中“”,“”相 当 于“”()(4)如果集合 BA,那么若元素 a 不属于 A,则必不属于 B.()(5)任何集合都有子集和真子集()(6)若 aA,则a A.()解析:空集只有子集,没有真子集解析:当 A 中仅含一个元素 a 时,Aa,a不是 A 的真子集2集合0,1的真子集有
4、()A1 个B2 个C3 个 D4 个解析:集合0,1的子集为,0,1,0,1真子集为,0,1,共 3 个答案:C3多选题已知集合 Ax|x210,则下列式子表示正确的是()A1A B1ACA D1,1A解析:由 Ax|x2101,1知 A、C、D 正确,B 错误故选 ACD.答案:ACD4设集合 Ax,y,B0,x2,若 AB,则 2xy_.解析:Ax,y,B0,x2,x20,即 x0.若 AB,则xx2,y0,解得x1,y0,此时 A1,0,B0,1,符合题意2xy2.答案:2题型一 子集、真子集的个数问题自主完成1已知集合 Ax|0 x3 且 xN,则 A 的真子集的个数是()A16 B
5、8C7 D4解析:Ax|0 x3,且 xN0,1,2,集合 A 的真子集的个数为 2317.答案:C2满足a,b M a,b,c,d,e的集合 M 的个数为()A6 B7C8 D9解析:根据题意,满足a,b M a,b,c,d,e的集合 M有:a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e共 6 个答案:A状元随笔 写集合的子集时不要忘记,真子集在子集的基础上去掉自身方法归纳 公式法求有限集合的子集个数(1)含 n 个元素的集合有 2n 个子集,有(2n1)个真子集,有(2n1)个非空子集,有(2n2)个非空真子集(2)若集合 A 有 n(n1)个元素,集合
6、 C 有 m(m1)个元素,且ABC,则符合条件的集合 B 有 2mn 个题型二 集合间关系的判断师生共研例 1 指出下列各组集合之间的关系:(1)Ax|1x5,Bx|0 x0,B(x,y)|x0,y0 或 x0,y0(4)Ax|x1a2,aN*,Bx|xa24a5,aN*解析:(1)将集合 A,B 在数轴上表示出来,如图所示B A.(2)A 是偶数集,B 是 4 的倍数集,B A.(3)集合 A 中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点,集合 B 中的元素,也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点,故AB.(4)对于任意 xA,有 x1a2(a2)24(a2)5aN*,a2N*.xB.由子
7、集的定义知 AB.设 1B,此时 a24a51,解得 a2N*,1a21 在 aN*时无解,1A.综上所述,A B.(1)利用数轴判断;(2)根据表示数集的意义判断;(3)根据集合的几何意义判断;(4)将 A 中 x 关于 a 的关系式改写成 B 中的形式,再判断方法归纳 判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先,判断一个集合 A 中的任意元素是否属于另一集合 B,若是,则 AB,否则 A 不是 B 的子集;其次,判断另一个集合 B 中的任意元素是否属于第一个集合 A,若是,则 BA,否则 B 不是 A 的子集;若既有 AB,又有 BA,则 AB.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集,可在数
8、轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍跟踪训练 1(1)若集合 Mx|x210,T1,0,1,则M 与 T 的关系是()AM TBM TCMT DM T(2)设 M菱形,N平行四边形,P四边形,Q正方形,则这些集合之间的关系为()APNMQ BQMNPCPMNQ DQNMP解析:(1)Mx|x2101,1,T1,0,1,M T.(2)有一个角是直角的菱形是正方形正方形应是菱形的一部分,正方形、菱形都属于平行四边形,它们之间的关系是:QMNP.答案:(1)A(2)B题型三 根据集合间关系求参数(取值范围)师生共研例 2 已知集合 Ax|1ax2,Bx|1x0 时,Ax1ax2a
9、.又Bx|1x1,且 AB,1a1,2a1.a2.当 a0 时,Ax2ax1a.AB,2a1,1a1.a2.综上所述,a 的取值范围是a|a0,或 a2,或 a2状元随笔 欲解不等式 1ax0,a0 进行讨论A B 用数轴表示如图所示:(a0 时)由图易知,1a和2a需在1 与 1 之间当1a1,或2a1 时,说明 A 与 B 的某一端点重合,并不是说其中的元素能够取到端点,如2a1 时,A x12x1,x 取不到 1.a0 时,不等式两端除以 a,不等号的方向改变方法归纳(1)分析集合关系时,首先要分析、简化每个集合(2)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形
10、定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“”用实心点表示,不含“”用空心点表示(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时,初学者会想当然认为非空集合而丢解,因此分类讨论思想是必需的跟踪训练 2 设集合 Ax|x28x150,Bx|ax10(1)若 a15,试判定集合 A 与 B 的关系(2)若 BA,求实数 a 的取值集合解析:(1)由 x28x150 得 x3 或 x5,故 A3,5,当a15时,由 ax10 得 x5.所以 B5,所以 B A.(2)当 B时,满足 BA,此时 a0;当 B,a0 时,集合 B1a,由 BA 得1a3 或1a5,所以 a13
11、或 a15.综上所述,实数 a 的取值集合为0,13,15.状元随笔 (1)解方程 x28x150,求出 A,当 a 15时,求出 B,由此能判定集合 A 与 B 的关系(2)分以下两种情况讨论,求实数 a 的取值集合B,此时 a0;B,此时 a0.易错辨析 忽略空集的特殊性致误例 3 设 Mx|x22x30,Nx|ax10,若 NM,求所有满足条件的 a 的取值集合解析:由 NM,Mx|x22x301,3,得 N或 N1或 N3当 N时,ax10 无解,即 a0.当 N1时,由1a1,得 a1.当 N3时,由1a3,得 a13.故满足条件的 a 的取值集合为1,0,13.易错警示易错原因纠错心得 忽略了 N这种情况空集是任何集合的子集,解这类问题时,一定要注意“空集优先”的原则