1、1.2 集合的基本关系 最 新课标(1)在具体情景中，了解空集的含义(2)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.教材要点要点一 子集文字语言符号语言图形语言 对于两个集合 A，B，如果集合 A 中_元素都属于集合 B，那么称集合 A 是集合 B 的子集若 aA，则 aB，记作_，读作“A 包含于 B”(或“B包含 A”)任何一个AB(BA)状元随笔 “A 是 B 的子集”的含义是：集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素，即任意 xA 都能推出 xB.要点二 集合相等文字语言：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 也是集合 A 的子集，那么
2、称集合 A 与集合 B 相等，记作_符号语言：若 AB，且 BA，则 AB.AB状元随笔 1.若 A B，且 B A，则 AB；反之，如果 AB，则 A B，且 B A.2若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关要点三 真子集文字语言：对于两个集合 A 与 B，如果_，那么称集合 A 是集合 B 的真子集符号语言：A B(或 B A)AB，且 AB状元随笔 在真子集的定义中，A B 首先要满足 A B，其次至少有一个 xB，但 xA.要点四 空集不含_元素的集合叫作空集，记为.规定：空集是任何集合的子集状元随笔 空集是不含任何元素的集合，且规定，任何时候 x都不成立，x是永恒
3、的真命题不是空集，中含有一个元素.作为元素，则；作为集合，则任何要点五 子集的性质1任何一个集合都是它本身的子集，即 AA.2对于集合 A，B，C，若 AB，BC，则 AC.基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)和表示的意义相同()(2)0,11,0(0,1)()(3)实 数 中“”类 似 于 集 合 中“”，“”相 当 于“”()(4)如果集合 BA，那么若元素 a 不属于 A，则必不属于 B.()(5)任何集合都有子集和真子集()(6)若 aA，则a A.()解析：空集只有子集，没有真子集解析：当 A 中仅含一个元素 a 时，Aa，a不是 A 的真子集2集合0,1的真子集有
4、()A1 个B2 个C3 个 D4 个解析：集合0,1的子集为，0，1，0,1真子集为，0，1，共 3 个答案：C3多选题已知集合 Ax|x210，则下列式子表示正确的是()A1A B1ACA D1,1A解析：由 Ax|x2101，1知 A、C、D 正确，B 错误故选 ACD.答案：ACD4设集合 Ax，y，B0，x2，若 AB，则 2xy_.解析：Ax，y，B0，x2，x20，即 x0.若 AB，则xx2，y0，解得x1，y0，此时 A1,0，B0,1，符合题意2xy2.答案：2题型一 子集、真子集的个数问题自主完成1已知集合 Ax|0 x3 且 xN，则 A 的真子集的个数是()A16 B
5、8C7 D4解析：Ax|0 x3，且 xN0,1,2，集合 A 的真子集的个数为 2317.答案：C2满足a，b M a，b，c，d，e的集合 M 的个数为()A6 B7C8 D9解析：根据题意，满足a，b M a，b，c，d，e的集合 M有：a，b，c，a，b，d，a，b，e，a，b，c，d，a，b，c，e，a，b，d，e共 6 个答案：A状元随笔 写集合的子集时不要忘记，真子集在子集的基础上去掉自身方法归纳 公式法求有限集合的子集个数(1)含 n 个元素的集合有 2n 个子集，有(2n1)个真子集，有(2n1)个非空子集，有(2n2)个非空真子集(2)若集合 A 有 n(n1)个元素，集合
6、 C 有 m(m1)个元素，且ABC，则符合条件的集合 B 有 2mn 个题型二 集合间关系的判断师生共研例 1 指出下列各组集合之间的关系：(1)Ax|1x5，Bx|0 x0，B(x，y)|x0，y0 或 x0，y0(4)Ax|x1a2，aN*，Bx|xa24a5，aN*解析：(1)将集合 A，B 在数轴上表示出来，如图所示B A.(2)A 是偶数集，B 是 4 的倍数集，B A.(3)集合 A 中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合 B 中的元素，也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，故AB.(4)对于任意 xA，有 x1a2(a2)24(a2)5aN*，a2N*.xB.由子
7、集的定义知 AB.设 1B，此时 a24a51，解得 a2N*，1a21 在 aN*时无解，1A.综上所述，A B.(1)利用数轴判断；(2)根据表示数集的意义判断；(3)根据集合的几何意义判断；(4)将 A 中 x 关于 a 的关系式改写成 B 中的形式，再判断方法归纳 判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先，判断一个集合 A 中的任意元素是否属于另一集合 B，若是，则 AB，否则 A 不是 B 的子集；其次，判断另一个集合 B 中的任意元素是否属于第一个集合 A，若是，则 BA，否则 B 不是 A 的子集；若既有 AB，又有 BA，则 AB.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数
8、轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍跟踪训练 1(1)若集合 Mx|x210，T1，0,1，则M 与 T 的关系是()AM TBM TCMT DM T(2)设 M菱形，N平行四边形，P四边形，Q正方形，则这些集合之间的关系为()APNMQ BQMNPCPMNQ DQNMP解析：(1)Mx|x2101,1，T1,0,1，M T.(2)有一个角是直角的菱形是正方形正方形应是菱形的一部分，正方形、菱形都属于平行四边形，它们之间的关系是：QMNP.答案：(1)A(2)B题型三 根据集合间关系求参数(取值范围)师生共研例 2 已知集合 Ax|1ax2，Bx|1x0 时，Ax1ax2a
9、.又Bx|1x1，且 AB，1a1，2a1.a2.当 a0 时，Ax2ax1a.AB，2a1，1a1.a2.综上所述，a 的取值范围是a|a0，或 a2，或 a2状元随笔 欲解不等式 1ax0，a0 进行讨论A B 用数轴表示如图所示：(a0 时)由图易知，1a和2a需在1 与 1 之间当1a1，或2a1 时，说明 A 与 B 的某一端点重合，并不是说其中的元素能够取到端点，如2a1 时，A x12x1，x 取不到 1.a0 时，不等式两端除以 a，不等号的方向改变方法归纳(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形
10、定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“”用实心点表示，不含“”用空心点表示(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的跟踪训练 2 设集合 Ax|x28x150，Bx|ax10(1)若 a15，试判定集合 A 与 B 的关系(2)若 BA，求实数 a 的取值集合解析：(1)由 x28x150 得 x3 或 x5，故 A3,5，当a15时，由 ax10 得 x5.所以 B5，所以 B A.(2)当 B时，满足 BA，此时 a0；当 B，a0 时，集合 B1a，由 BA 得1a3 或1a5，所以 a13
11、或 a15.综上所述，实数 a 的取值集合为0，13，15.状元随笔 (1)解方程 x28x150，求出 A，当 a 15时，求出 B，由此能判定集合 A 与 B 的关系(2)分以下两种情况讨论，求实数 a 的取值集合B，此时 a0；B，此时 a0.易错辨析 忽略空集的特殊性致误例 3 设 Mx|x22x30，Nx|ax10，若 NM，求所有满足条件的 a 的取值集合解析：由 NM，Mx|x22x301,3，得 N或 N1或 N3当 N时，ax10 无解，即 a0.当 N1时，由1a1，得 a1.当 N3时，由1a3，得 a13.故满足条件的 a 的取值集合为1，0，13.易错警示易错原因纠错心得 忽略了 N这种情况空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则