1、课时跟踪检测(十)空间中直线、平面的垂直A级基础巩固1在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)，则PA与底面ABCD的关系是()A相交B垂直C不垂直 D成60角解析：选B因为0，0，ABADA，所以AP平面ABCD.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()AAC BBDCA1D DA1A解析：选B建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，E，(1，1，0)，(1，1，0)，
2、(1，0，1)，(0，0，1)(1)(1)010.CEBD.3已知(1，5，2)，(3，1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4 B.，4C.，2，4 D4，15解析：选B，0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，则解得4.如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BFPE时，()A. B1C2 D3解析：选B建立如图空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，PAa，则B(1，0，0)，E，P(0，0，a)设F(0，y，0)，则(1，y，0)，.因为BFPE，即(1)y0，解得y，即F是AD的中点，故1.
3、5(多选)下列命题是真命题的有()A直线l的方向向量为a(1，1，2)，直线m的方向向量为b，则l与m垂直B直线l的方向向量为a(0，1，1)，平面的法向量为n(1，1，1)，则lC平面，的法向量分别为n1(0，1，3)，n2(1，0，2)，则D平面经过三点A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，2，0)，向量n(1，u，t)是平面的法向量，则ut1解析：选ADa(1，1，2)，b，ab121120，则ab，直线l与m垂直，故A正确；a(0，1，1)，n(1，1，1)，则an011(1)(1)(1)0，则an，l或l，故B错误；n1(0，1，3)，n2(1，0，2)，n1与n2不共线，不成
4、立，故C错误；点A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，2，0)，(1，1，1)，(1，1，0)向量n(1，u，t)是平面的法向量，即解得ut1，故D正确6已知u(ab，ab，2)是直线l的一个方向向量，n(2，3，1)是平面的一个法向量，若l，则a，b的值分别为_解析：l，un，a5，b1.答案：5，17.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是棱D1D上一点，N是A1B1的中点，则当_时，ONAM.解析：以A为原点，分别以，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，O，N.设M(0，1，a)(
5、0a1)，则(0，1，a)a0，a.当时，ON与AM垂直答案：8已知空间三点A(0，0，1)，B(1，1，1)，C(1，2，3)，若直线AB上一点M，满足CMAB，则点M的坐标为_解析：设M(x，y，z)，则由已知，得(1，1，0)(，0)又(x，y，z1)，x，y，z1.M(，1)又0，(1，2，4)，(1，1，0)，(1，2，4)(1，1，0)0，(1)(2)0，.M点坐标为.答案：9如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1.求证：A1C平面BB1D1D.证明：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空
6、间直角坐标系ABAA1，OAOBOA11，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)由，易得B1(1，1，1)(1，0，1)，(0，2，0)，(1，0，1)，0，0，A1CBD，A1CBB1，又BDBB1B，A1C平面BB1D1D.10.如图，在三棱锥PABC中，PA，PB，PC三条侧棱两两互相垂直且相等，G是PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BEECPFFB12.求证：平面GEF平面PBC.证明：如图，以三棱锥的顶点P为坐标原点，以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设PAPBPC3，则P(0，0，0)，
7、A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)于是(3，0，0)，(1，0，0)，故3，PAFG.AP平面PBC，FG平面PBC.又FG平面GEF，平面GEF平面PBC.B级综合运用11(多选)(2021全国统一考试模拟演练)如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中()AAECD BCHBECDGBH DBGDE解析：选BCD将正方体的平面展开图复原为正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1.则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，E(1，0，1)，F(1，1，1)，G(0，1，1
8、)，H(0，0，1)(0，0，1)，(0，1，0)，所以，故AE不平行CD，A错误；(0，1，1)，(0，1，1)，所以，故CHBE，B正确；(0，1，1)，(1，1，1)，所以0，故DGBH，C正确；(1，0，1)，(1，0，1)，所以0，故BGBE，故D正确12(多选)如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是()A.0BABDCCBDACD平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直解析：选BC建立以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系(图略)，设等腰直角
9、三角形ABC的斜边BC2，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A(0，0，1)，所以(1，0，1)，(0，1，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，从而有0011，故A错误；0，故B正确；0，故C正确；易知平面ADC的一个法向量为向量(1，0，0)，设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，由nxz0，nyz0，取y1，则x1，z1，故n(1，1，1)，n1，故D错误13在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x1，2cos 2x2，0)和点Q(cos x，1，3)，其中x0，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为_解析：由题意得.cos x(2cos x1)(2cos 2
10、x2)0.2cos2xcos x0.cos x0或cos x.又x0，x或x.答案：或14已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点(1)求证：A1EBD；(2)若平面A1BD平面EBD，试确定E点的位置解：(1)证明：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系设正方体棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)设E(0，a，b)(0ba)，(a，a，ba)，(a，a，0)，a2a2(ba)00，即A1EBD.(2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1(x1，
11、y1，z1)，n2(x2，y2，z2)(a，a，0)，(a，0，a)，(0，a，b)，取x1x21，得n1(1，1，1)，n2，由平面A1BD平面EBD，得n1n2，20，即b.当E为CC1的中点时，平面A1BD平面EBD.C级拓展探究15在长方体ABCDABCD中，已知AB1，AD2，AA3.(1)在四边形BCCB内是否存在一点N，使得AN平面ABD?(2)求证：AC与平面ABD的交点恰为线段AC的三等分点解：(1)以点A为原点，AB，AD，AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，2，0)，A(0，0，3)故(1，2，0)，(1，0，3)设N(1，y，z)是四边形BCCB内一点，则0y2，0z3，(1，y，z)令得解得故在四边形BCCB内存在一点N，使得AN平面ABD.(2)证明：由(1)可知是平面ABD的一个法向量，又B(1，0，0)，所以平面ABD可用下式表示(x1，y0，z0)0.化简，得(6，3，2)(x1，y，z)0，即6x3y2z6.设点E为线段AC的一个三等分点，且满足.由(1，2，3)，可知，即点E的坐标为.代入检验可知，点E的坐标满足平面ABD的表达式.所以AC的三等分点E在平面ABD内，即AC与平面ABD的交点是线段AC的三等分点
