1、专题练习四 与正方形有关的四个常考模型第一章 特殊平行四边形模型一 正方形中相交垂线段问题1(教材P21例1变式)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且DECF，AF，BE相交于点G.(1)BE与AF之间有怎样的关系？请说明理由；(2)若将题干中的“DECF”改为“BGF90”，则AE与DF的数量关系是_AEDF解：(1)BEAF，BEAF.理由如下：四边形ABCD是正方形，ABADDC，BADD90.又DECF，ADDEDCCF，AEDF，BAEADF，BEAF，ABEDAF.DAFBAG90，ABEBAG90，AGB90，BEAF2(模型运用)在正方形ABCD中，动点E，F
2、分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动(1)如图，当点E自点D向点C，点F自点C向点B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的关系，并说明理由；(2)如图和图，当点E，F分别在边DC，CB的延长线及反向延长线上移动时，连接AE和DF，(1)中的结论还成立吗？无需证明解：(1)AEDF，AEDF；理由如下：四边形ABCD是正方形，ADDC，ADCC90.动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，DECF，ADEDCF，AEDF，DAECDF.CDFADF90，DAEADF90，APD90，AEDF(2)成立模型二 正方形中过对角线交
3、点的直角问题3(教材P25习题T4变式)如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且O是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.(1)求证：AOEBOF；(2)如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕点O转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？解：(1)证明：在正方形 ABCD 中，AOBO，AOB90，OABOBAOBC45.AOEEOB90，BOFEOB90，AOEBOF.AOEBOF(2)两个正方形重叠部分面积等于 14 a2，AOEBOF，S 四边形 OEBFS EOBSOBFSEOBSAOESAOB14 S 正方形 ABC
4、D14 a24.(转化思想)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，且点O是正方形A1B1C1O的一个顶点，这两个正方形的边长相等，给出如下四个结论：OEF45；正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF面积随EF的长度变化而变化；BEF周长的最小值为(1)OA；AE2CF22OB2.其中所有正确结论的序号是_【模型归纳】(1)ABC是等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，连接OC，则DOCEOB，ADOCEO；(2)在正方形ABCD中，O为对角线的交点，EOF绕点O顺时针旋转，且 E OF 9 0 ，若 O E，O F分 别 与 D A，A B 的 延 长 线 交 于 点 G，H，则AG
5、OBHO，OGH是等腰直角三角形模型三 正方形中的“外角平分线”模型 5已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AEEF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)如图，求证：AEEF；(2)如图，当AB2，点E是边BC的中点时，请直接写出CF的长解：(1)证明：如图，在 AB 上截取 BMBE，连接 ME.B90，BAEAEB90，BMEBEM45，AME135.CF 平分正方形的外角，DCF 45 ，ECF BCD DCF 135 ，即 AME ECF.AEEF，AEBFEC90，BAEFEC.ABBC，BMBE，AMEC，AMEECF，AEEF(2)如图，取 AB 的
6、中点 M，连接 EM.同(1)可证AMEECF，EMCF.AB2，E 是边 BC 的中点，BMBE1，CFME 2模型四 正方形中的半角模型 6问题：如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，EAF45，试判断BE，EF，FD之间的数量关系(1)【发现证明】小聪把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，从而发现EFBEFD，请你利用图证明上述结论；(2)【类比引申】如图，在四边形ABCD中，BAD90，ABAD，BD180，点E，F分别在边BC，CD上，则当EAF与BAD满足什么数量关系时，仍有EFBEFD，并说明理由解：(1)证明：由旋转变换的性质可知，ADGABE，AGAE，DAGB
7、AE，DGBE，ADGABE90.ADF90，ADGADF180，即G，D，F三点共线EAF45，DAFDAGDAFBAE45，GAFFAE.AFAF，AFEAFG，GFEF.FGDGDFBEDF，BEDFEF(2)BAD2EAF.理由如下：如图，延长CB至点M，使BMDF，连接AM，ABCD180，ABCABM180，DABM.又ABAD，ABMADF，AMAF，BAMDAF.BAD2EAF，DAFBAEEAF，EAFEAM，EAFEAM，EFEM.EMBEBMBEDF，EFBEDF【模型归纳】(1)如图，在正方形ABCD中，若EAF45，则：EFBEDF；CEF的周长为正方形ABCD边长的2倍；FA平分DFE，EA平分BEF；MN2BM2DN2；(2)如图，在正方形ABCD中，若EAF45，FA平分DFE，则EFDFBE.
