1、第九章 直线、平面、简单几何体第 讲（第一课时）考点搜索线面垂直与面面垂直的概念线面垂直与面面垂直的判定定理线面垂直与面面垂直的性质定理三垂线定理及其逆定理高考高考猜想1.判断或证明线面垂直和面面垂直是考查的重点内容.2.线面垂直与线面平行的相互转化.3.在线面垂直背景下求有关量的值.1.如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的_;平面叫做直线的_；交点叫做_.2.如 果 一 条 直 线 和 一 个 平 面 内 的_都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.任意一条直线垂线垂面垂足两条相交直线3.设l，m为直线，为平面，若l m，且l
2、，则_；若l，且m，则_.4.设l为直线，、为平面，若l ，且，则_;若l，且l，则_.5.如果两个相交平面所成的二面角为_，则称这两个平面互相垂直.m l ml 直二面角6.如果一个平面经过另一个平面的，那么这两个平面互相垂直.7.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内_的直线垂直于另一个平面.8.自平面外一点P向平面引垂线，垂足P叫做点P在平面内的 _.一条垂线垂直于交线正射线9.如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的_;直线和平面的交点叫做 _.10.在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的_，那么它也和这条斜线垂直;如果它和这个平面的一条斜线
3、垂直,那么它也和这条斜线在 _垂直.斜线斜足射线垂直平面内的射线11.过一点且垂直于一个已知平面的直线条数为_；过一点且垂直于一条已知直线的平面个数为_.12.从平面外一点向这个平面所引的斜线段中，相等的斜线段其射影长_;较长的斜线段其射影 _，反之亦然.有且只有一条有且只有一个相等较长1.给出下列命题，其中正确的两个命题是()若直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行;夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面;直线m平面，直线nm，则n;若a、b是异面直线，则存在唯一的平面，使它与a、b都平行且与a、b距离相等.A.B.C.D.解：错误.如果这两点在该平面的异侧，则
4、直线与平面相交.正确.如右图，平面，A，C，D，B且E、F分别为AB、CD的中点，设H是CG的中点，则EHBG，HFGD.所以EH平面，HF平面.所以平面EHF平面平面.所以EF，EF.错误.直线n可能在平面内.正确.如右图，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作aa，bb，则a、b确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一确定的.故选D.2.在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S-EFG中必有()A.S
5、G平面EFGB.SD平面EFGC.FG平面SEFD.GD平面SEFA解：注意折叠过程中，始终有SG1 G1E，SG3G3F，即SGGE，SGGF，所以SG平面EFG.故选A.3.在三棱锥A-BCD中，若ADBC，BD AD，BCD是锐角三角形，那么必有()A.平面ABD平面ADCB.平面ABD平面ABCC.平面ADC平面BCDD.平面ABC平面BCD解:由ADBC,BDAD,所以AD平面BCD，又AD平面A D C，所以平面ADC平面BCD.C1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90，BAC=30，BC=1，AA1=6，M为CC1的中点，求证：AB1A1M.证法1：分别取AA1、A1
6、B1的中点D、E，连结CD、DE，题型1 线线垂直的判定与证明则所以CDE为异面直线AB1和A1M所成的角.连结CE，由已知可得AC=，AB=2，AD=，所以.连结C1E，则C1E=A1B1=1，11112CD/A M,DE/AB36222292CDACAD2221152DEA EA D12所以CE2=CC21+C1E2=7.于是，有CD2+DE2=CE2，所以 C D E=9 0 ，即AB1A1M.证法2：由题设知B1C1A1C1，B1C1CC1，所以B1C1平面ACC1A1.连结AC1，则AC1是AB1在平面ACC1A1内的射影.由已知可得AC=A1C1=，C1M=，所以tanAC1C=，
7、tanMA1C1=，所以AC1C=MA1C1.所以AC1A1+MA1C1=AC1A1+AC1C=90,所以A1MAC1.据三垂线定理，A1MAB1.362122ACCC 1116222 3C MA C 点评：证两异面直线垂直的方法主要有：所成的角是直角；平移后转化到同一平面内的两直线垂直；利用三垂线定理，证一线的射影与直线垂直；利用线面垂直的性质.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1BAC1，求证：A1BB1C.证明：取A1B1的中点D1，连结C1D1.因为B1C1=A1C1，所以C1D1A1B1，所以C1D1平面ABB1A1.连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A
8、1内的射影，因为A1BAC1，所以A1BAD1.取AB的中点D，连结CD、B1D，则B1DAD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影.因为B1DA1B，所以A1BB1C.2.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，ABBC，D为AC的中点，求证：PD平面ABC.证法1：因为PA=PC，D为AC的中点，所以PDAC.取BC的中点E，连结PE、DE.题型2 线面垂直的判定与证明因为PB=PC，所以PEBC，又DEAB，ABBC，所以DEBC，于是BC平面PDE，所以BCPD.结合知，PD平面ABC.证法2：过点P作PO平面ABC，垂足为O.因为PA=PB=PC，所以AO=OB=OC，即O为
9、ABC的外心.因为ABBC，即ABC为直角三角形，所以O为斜边AC的中点，从而D与O重合，故PD平面ABC.点评：证线面垂直一般是转化为证直线与平面内两条相交直线垂直，即由“线线垂直”得出“线面垂直”.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.证明：取BC的中点O，连结AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.连结B1O.在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，所以B1OBD，所以AB1BD.在正方形ABB1A1中，AB1A1B，所以AB1平面
10、A1BD.3.在四棱锥P-ABCD中，PA底面A B CD，底面ABCD为矩形，PA=AD，M为AB的中点.求证：平面PMC平面PCD.证明：分别取PC、PD的中点N、E，连结MN、AE、EN，则.题型3 面面垂直的判定与证明12EN/DC又，所以.所以四边形AMNE为平行四边形，所以MNAE.因为PA=AD，所以AEPD.又CDAD，CDPA，所以CD平面PAD，所以CDAE.12AM/DCEN/AM于是AE平面PCD，所以MN平面PCD.因为MN平面PMC，所以平面PMC平面PCD.点评：利用面面垂直的判定定理证两平面垂直，关键是在其中一个平面内找一条直线垂直另一个平面，即将证面面垂直问题
11、转化为证线面垂直问题.如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA平面ABC.(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.解：(1)证明：因为C是AB为直径的圆O的圆周上一点，所以BCAC.又PA平面ABC，BC平面ABC，所以BCPA，从而BC平面PAC.因为BC平面PBC，所以平面PAC平面PBC(2)平面PAC平面ACBD；平面PAC平面PBC；平面PAD平面PBD；平面PAB平面ACBD；平面PAD平面ACBD.1.判断或证明两条直线垂直的主要方法有：(1)利用两直线垂直的定义，判断两直线所成的角为90;(2)
12、利用三垂线定理或其逆定理；(3)利用线面垂直的概念，证明一条直线垂直于经过另一条直线的一个平面;(4)利用有关两直线垂直的平面几何性质(如菱形的对角线互相垂直，等腰三角形底边上的中线垂直于底边等).2.判断或证明直线和平面垂直的主要方法有：(1)利用直线和平面垂直的定义；(2)利用直线和平面垂直的判定定理；(3)转化为另一条平行线和这个平面垂直；(4)利用同一法，即过直线上一点作平面的垂线，再证两直线重合.3.判定或证明两平面垂直有两种方法：一是根据定义判断；二是由判定定理确定.面面垂直与线面垂直、线线垂直是密切相关的，解题时要注意三者的相互转化.4.平行与垂直是对立统一的辩证关系.通过平移转化某些垂直关系，是一个重要的解题技巧.
