1、高考总复习第（1）轮理科数学第二单元函数第13讲 函数与方程结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 yf(x)，把使_的实数 x 叫作函数 yf(x)的零点(2)三个等价关系方程 f(x)0 有实根函数 yf(x)的图象与_有交点函数 yf(x)有_.f(x)0 x轴零点(3)函数零点的判定(零点存在定理)如果函数 yf(x)在区间a，b上是一条_的曲线，并且有 f(a)f(b)_0，那么函数 yf(x)在区间(a，b)内至少有_.连续不断一个零点2二分法(1)二分法的意义 对于区间a，b上连续不断且 f(
2、a)f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 一分为二零点(2)利用二分法求函数 f(x)的零点的近似值的步骤：第一步，确定区间a，b，验证，给定精确度.第二步，求区间(a，b)的中点 x1.第三步，计算 f(x1)；若 f(x1)0，x1 就是函数的；若 f(a)f(x1)0，则令 bx1，此时零点 x0；若 f(x1)f(b)0，则令 ax1，此时零点 x0.第四步，判断是否达到精确度的要求，否则重复第二至第三步 f(a)f(b)0)零点的分布3.三个等价关系的推广方程 f(x)g(x)0 有实
3、根函数 yf(x)与 yg(x)的图象有交点函数 F(x)f(x)g(x)有零点1(2018永州模拟)已知函数 f(x)2x1，x1，1log2x，x1，则 f(x)的零点为()A.12B1C0 或12D0解：当 x1 时，由 f(x)2x10，解得 x0；当 x1 时，由 f(x)1log2x0，解得 x12，又因为 x1，所以此时方程无解综上，函数 f(x)的零点只有 0.答案：D 2函数 f(x)12x(12)x 的零点的个数为()A0B1C2D3解：在同一平面直角坐标系内作出 y12x 与 y(12)x 的图象(如图)，由图可知，两函数图象只有一个交点，因此函数 f(x)12x(12)
4、x 只有 1 个零点 答案：B3在下列区间中，函数 f(x)ex4x3 的零点所在的区间为()A(14，0)B(0，14)C(14，12)D(12，34)解：因为 f(x)是 R 上的增函数且图象是连续的，且 f(14)e144143e1420，所以 f(x)在(14，12)内存在唯一零点 答案：C4(2019广东七校联考)若函数 f(x)2xa2x2a 的零点在区间(0,1)内，则实数 a 的取值范围是()A(，12)B(，1)C(12，)D(1，)解：因为 f(x)单调递增，所以f012a0，解得 a12.答案：C5若函数 f(x)x3x22x2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其
5、参考数据如下：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.4375)0.162f(1.40625)0.054那么方程 x3x22x20 的一个近似值(精确到 0.1)为()A1.2B1.3C1.4D1.5解：可知方程的解在区间(1.40625,1.4375)上，因为 1.406251.4,1.43751.4，故近似解为 1.4.答案：C函数零点的判断与求解二次函数的零点函数零点和参数的范围考点1函数零点的判断与求解【例 1】函数 f(x)x22，x0，2x6ln x，x0的零点个数是 .解：当 x0 时，由 x220，得 x 2；当 x0 时，f(
6、x)2x6ln x 在(0，)上为增函数，且 f(2)ln 220.所以 f(x)在(0，)上有且只有一个零点综上，f(x)的零点个数为 2.答案：2【变式探究】1(2018河北邯郸月考)已知函数f(x)1|x1|，x1，x24x2，x1.(1)函数 f(x)的零点为；(2)函数 g(x)2|x|f(x)2 的零点个数为个 解：(1)当 x1 时，由 1|x1|0，得 x0 或 x2.当 x1 时，由 x24x20，得 x2 2，因为 x2 21，舍去，所以 x2 2.综上 f(x)的零点为2,0,2 2.(2)g(x)2|x|f(x)2 的零点个数g(x)2|x|f(x)20 的解的个数f(
7、x)22|x|的解的个数yf(x)与 y 22|x|图象的交点个数下面作 yf(x)，与 yg(x)的图象，如图由图可知，有且只有 2 个交点，故所求函数零点个数为 2.点评：判断方程的根的个数，函数的零点个数等问题，常用方法有：（1）直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点（2）利用函数零点存在定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，0m1m12，m12，m1 2或m1 2，1m0.所以12m0，2a2 a1，f13a0，解得 2a3.(2)方程一根大于 1，另一根小于 1，即要求 f(x)x22ax2a 两零点在 x1 的两旁
8、，所以只需要 f(1)3.点评：利用二次函数图象，采用数形结合是求解二次函数零点分布问题的基本方法求解时，一般要考虑如下四个方面：“开口方向、方程有解的条件、对称轴的位置、区间端点函数值的正负”其中方程有解的条件可以是：0；零点存在定理考点3函数零点和参数的范围【例 3】(2018全国卷)已知函数 f(x)ex，x0，ln x，x0，g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是()A1，0)B0，)C1，)D1，)解：令 h(x)xa，则 g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出 yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图：若 g(x)存在 2 个零点，则 yf(x
9、)的图象与 yh(x)的图象有 2 个交点，平移 yh(x)的图象，可知当直线 yxa 过点(0，1)时，有 2个交点，此时 10a，a1.当 yxa 在 yx1 上方，即 a1 时，有 2 个交点，符合题意综上，a 的取值范围为1，)答案：C3.(2017全国卷)已知函数 f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则 a()A12B.13C.12D1【变式探究】解：(方法一)f(x)0a(ex1ex1)x22x.令 g(x)x22x，h(x)a(ex1ex1)，因为 g(x)(x1)211，当且仅当 x1 时取“”又因为 ex1ex12 ex1ex12，当且仅当 x1 时取“”若 a0，
10、则 h(x)a(ex1ex1)2a，要使 f(x)有唯一零点，则必有 2a1，即 a12.若 a0，则 f(x)的零点不唯一(方法 2)f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令 tx1，g(t)f(t1)t2a(etet)1.因为 g(t)(t)2a(etet)1g(t)，所以函数 g(t)为偶函数因为 f(x)有唯一零点，所以 g(t)也有唯一零点又 g(t)为偶函数，由偶函数的性质知 g(0)0，所以 2a10，解得 a12.(方法 3)f(x)(x1)2a(ex1ex1)，因为 f(2x)f(x)，所以 f(x)关于 x1 对称，f(x)有唯一零点f(1)0，
11、所以 a12.点评：(1)利用函数零点求参数范围时，常可构造两个函数，利用函数图象数形结合进行求解(2)注意如下结论的运用：yf(x)的零点f(x)0 的解yf(x)与 x轴交点的横坐标；f(x)g(x)的零点方程 f(x)g(x)的解yf(x)与 yg(x)的图象的交点的横坐标；f(x)a的零点方程af(x)的解yf(x)的图象与ya 的交点的横坐标；方程 af(x)有解a 属于函数 yf(x)的值域1函数 yf(x)的零点是一个实数，是方程 f(x)0 的实数根，也是 yf(x)的图象与 x 轴交点的横坐标2函数零点的判定的常用方法有：(1)零点存在定理；(2)数形结合；(3)解方程 f(x)0.3方程 f(x)g(x)的解，实质上就是研究 F(x)f(x)g(x)的零点，可利用函数思想，将其转化为两个函数图象的交点问题4二次方程根的分布问题实质上是函数零点存在的范围问题，因此可借助函数，运用数形结合的思想方法进行处理在利用二次函数的图象研究根的分布问题时，要注意考察如下四个方面：开口方向；方程有根的条件；对称轴位置；区间端点函数值的正负点击进入WORD链接
