1、微专题71 求曲线（或直线）的方程一、基础知识：1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理2、所学方程中字母的几何意义（1）直线：斜率；：直线所过的定点（2）
2、圆：:圆心的坐标； 圆的半径（3）椭圆：长轴长，焦半径的和； 短轴长；：焦距（4）双曲线：实轴长，焦半径差的绝对值； 虚轴长；：焦距注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着展开，通过这些条件也可以求出的值，从而确定曲线方程。例如（椭圆与双曲线共有的）：离心率：；通径（焦点弦长的最小值）：等（5）抛物线： 焦准距3、待定系数法中方程的形式：（1）直线与曲线方程通式： 直线：， 圆： 椭圆：标准方程：（或，视焦点所在轴来决定）椭圆方程通式： 双曲线：标准方程：（或，视焦点所在轴决定）双曲线方程通式： 抛物线：标准方程：等抛物线方程通式：，（2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中
3、含有参数。曲线系方程的一大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程，则将问题转化为利用条件求解参数，让解题目标更为明确，曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。常见的曲线系方程如下： 过相交直线的交点的直线系方程为：即（其中为参数） 与直线平行的直线系方程为：（其中为参数） 与直线垂直的直线系方程为：（其中为参数） 过相交两圆交点的圆系方程为：即 若直线与圆有公共点，则过公共点的圆系方程为：即 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线渐近线相同的双曲线系方程为：二、典型例题：例1：已知椭圆的长轴长为4，若点是椭圆上任意一点，过原点的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为，且，则椭圆的方程为（
4、）A. B. C. D. 思路：由已知可得，所以只需利用条件求出的值即可，设，则。则，从而，由分子分母平方差的特点及在椭圆上联想到点差法，得：，所以即，所以椭圆方程为答案：D例2：椭圆的右焦点为，右顶点，上顶点分别为，且 （1）求椭圆的离心率（2）若斜率为的直线过点，且交椭圆于两点，求直线的方程及椭圆的方程解：（1）由椭圆方程可得： （2）由（1）可得椭圆方程为： ， 由已知可得，直线的方程为 联立方程：，消去可得：，即： ，解得： 经检验：当，满足直线与椭圆有两个交点，所以符合条件椭圆方程为 例3：已知直线，椭圆，（1）若无论为何值，直线与椭圆均有公共点，试求的取值范围及椭圆离心率关于的函数
5、关系式（2）当时，直线与椭圆相交于两点，与轴交于点，若，求椭圆的方程解：（1）由可知直线过定点 与恒有公共点在椭圆上或椭圆内 的范围为 若，则 若，则 综上所述： （2）由已知可得：， 设 联立直线与椭圆方程可得：，消去可得：，整理后可得： 可得： ，即，解得：或（舍）椭圆方程为 例4：过点，向椭圆引两条切线，切点分别为，且为正三角形，则最大时椭圆的方程为（ ）A. B. C. D. 思路：由题意可知本题确定值的关键在于达到最大值时，的取值，那么需要得到关于的关系（等式或不等式），作出图形可知，若为正三角形，则的斜率为，进而能够得到的方程。以为例：，与椭圆方程联立并消元可得到：，所以，则考虑利
6、用均值不等式得到，等号成立条件为，再结合即可求出的值，从而确定椭圆方程解：依图可知： 的方程为： ，联立方程：，消去：，整理后可得：与椭圆相切 即 由均值不等式可得： （等号成立条件为：）的最大值为，此时椭圆方程为：答案：D例5：已知点是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的两个端点，且是正三角形（1）求椭圆的离心率（2）直线与以为直径的圆相切，并且被椭圆截得的弦长的最大值为，求椭圆的标准方程解：（1）设椭圆标准方程为，焦距为，由是正三角形可得：，因为解得：（2）由（1）可得椭圆的方程为：，设与椭圆的交点为若斜率不存在，可得弦长若斜率存在，设，联立方程：，整理可得：与圆相切， 代入到上式可得：（等号成立条
7、件：） 椭圆方程为：例6：设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为（1）求的离心率（2）设点的坐标为，为线段的中点，点关于直线的对称点的纵坐标为，求的方程解（1）由在线段上和可得： （2）由（1）中，可设由可得：，设的对称点依题意可得：可解得： 椭圆方程为例7：已知椭圆 的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为 （1）求椭圆的离心率（2）如图，是圆的一条直径，若椭圆 经过两点，求椭圆的方程解：（1）过的直线的方程为： ，由可得： （2）由（1）可得： 椭圆方程为： 由圆方程可得： 设 设，联立方程： 消去可得：，整理后可得： 椭圆方程为： 例8：已知
8、双曲线的两个焦点为，其中一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且满足，若成等比数列，则双曲线的方程为_解：成等比数列 由渐近线方程可知：，不妨设在右支上 即由中线定理可知： 即 由可知 双曲线方程为： 答案：小炼有话说：中线定理：已知为中底边的中线，则有，证明如下：在中，由余弦定理可知： 同理，在中，有： 且由是中点可知： 可得： ，即例9：（2014，福建）已知双曲线的两条渐近线分别为， （1）求双曲线的离心率（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一、四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在请说明理由解：（
9、1）由双曲线方程可知，渐近线方程为 （2）若直线不与轴垂直，设联立方程： ，同理可得设直线与轴交于 即 由直线与渐近线的交点分别在第一、四象限可知： 由（1）可得双曲线方程为：联立与双曲线方程： 因为与双曲线相切 整理可得： 所以 双曲线方程为：存在一个总与相切的双曲线，其方程为例10：已知分别为曲线与轴的左，右两个交点，直线过点且与轴垂直，为上异于点的点，且在第一象限，连结与曲线交于点 （1）若曲线为圆，且，求弦的长（2）设是以为直径的圆与线段的交点，若三点共线，求曲线的方程解：（1）若曲线为圆，则可知 的方程： （2）由已知可得：，设直线 联立直线与椭圆方程可得：，整理后可得： 可知该方程的两根为：，由韦达定理可得： ，即 共线，且为圆的直径 ，即解得： 曲线的方程：
