1、答案详解1.已知集合2log1Axx,集合2By yx,则 AB()A0,B0,2C0,2D0,10D解:2log1Axx02xx,2By yx0y y,0,)AB,故选:D2.已知圆22:240C xyxy关于直线32110 xay对称,则圆 C 中以,22aa为中点的弦长为()A1B2C3D42.依题意可知直线过圆心(1,2),即34110a,2a 故,1,122aa圆方程配方得22(1)(2)5xy,(1,1)与圆心距离为 1,故弦长为2 5 14 故选 D本题考查直线与圆的位置关系,利用中点弦三角形解弦长,属于基础题。3若双曲线221mxny(0m)的离心率为5,则 mn ()A 14
2、B14C4D 4因为221mxny(0m)可化为22111xymn(0m),所以2215bea,则22141bnam,即4mn .故选:D.4B 由于正四棱锥:底面是正方形,侧面为 4 个全等的等腰三角形,设正四棱锥的底边为 a,底面积为2a,所以,该正四棱锥的侧面积为23a,设该四棱锥的侧面的等腰三角形的高为 h,则有223aha,所以,32ha,设内切球的半径为 r,则如图,OGP与 PHF相似,有 OGPOHFPF,所以,2222ahrrah,由于32ha,化简得,24ar,则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为24ra 故选:B【点睛】关键点睛:解题关键在于利用三角形的相似关系,求出内
3、切球的半径与底面正方形的边长关系,属于中档题5C由题意可得:72ACB,且1512cos4BCACBAC,所以225151cos1442cos 7212144 ,所以51sin234sin 14490cos1444,故选:C【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式,属于基础题.6已知定义在 R 上的函数()2xf xx,3(log5)af,31(log)2bf,(ln 3)cf,则 a,b,c 的大小关系为()AcbaBbcaC abcDcab【详解】当0 x 时,()22()2ln 2 20 xxxxf xxxfxx,函数()f x 在0 x 时,是增函数.因为()22()xxfxxxf
4、 x ,所以函数()f x 是奇函数,所以有33311(log)(log)(log 2)22bfff,因为33log5loln31g 20,函数()f x 在0 x 时,是增函数,所以cab,故本题选 D.7C【分析】构造新函数()()xf xg xe,求导后易证得()g x 在 R 上单调递减,从而有(1)(0)gg,(2020)(0)gg,(1)(1)gg,故而得解【详解】设()()xf xg xe,则()()()xfxf xg xe,()()fxf x,()0g x,即()g x 在 R 上单调递减,(1)(0)gg,即0(1)(0)ffee,即(1)e(0)ff,故选项 A 不正确;(
5、2020)(0)gg,即20200(2020)(0)ffee,即2020(2020)(0)fef,故选项 D 不正确;(1)(1)gg,即1(1)(1)ffee,即2(1)(1)fe f故选项 B 不正确;故选:C【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,构造新函数是解题的关键,考查学生的分析能力、逻辑推理能力和运算能力,属于中档题8A设椭圆方程为22221(0)xyabab,双曲线方程为22221(0,0)xymnmn,左右焦点分别为12(,0),(,0)FcF c22222cabmn不妨设 P 在第一象限,121222PFPFaPFPFm,得12PFamPFam,在12PF F中,22
6、212121212|2|cosF FPFPFPFPFF PF,即2222222343,4amcamcc,设椭圆和双曲线的离心率分别为12221213,4e eee,设1211332cos1,cos,2sin3,0sin22ee,取03,1211242cossinsin()333ee,当6 时,1211ee取得最大值为 4 33.故选:A.本题考查椭圆与双曲线的定义和性质,利用余弦定理和三角换元是解题的关键,属于较难题.9.由椭圆方程22148xy 可得焦点在 y 轴上,且2 2,2,2abc,椭圆的焦点坐标为 0,2,0,2,故 A 错误;椭圆 C 的长轴长为 24 2a,故 B 错误;可知直
7、线l 的斜率存在,设斜率为 k,1122,A x yB x y,则22112222148148xyxy,两式相减得 12121212048xxxxyyyy,121224048xxyy,解得12121yykxx,则直线l 的方程为21yx,即30 xy,故 C 正确;联立直线与椭圆2230148xyxy,整理得23610 xx,121212,3xxx x,2214 31124 33AB ,故 D 正确.故选:CD.【点睛】易错点睛:已知椭圆方程,在求解当中,一定要注意焦点的位置,本题的焦点在 y 轴上,在做题时容易忽略焦点位置,判断错误.10因为0a,0b,且24ab,A111111212123
8、3232 24444babaababababab,当且仅当242abbaab,即4 2442 2ab,时,取等号,故错误;B.21211414224144244babaabaababbab,当且仅当244abbaab,即2,1ab时,取等号,故正确;C.12112122122925524444babaababababab,当且仅当2422abbaab,即44,33ab时,取等号,故正确;D.1111111111111111bababaabababab,11111516131211171171717babaabababab,516132 303217171777baab,故正确;故选:BCD【点
9、睛】方法点睛:(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值,主要有两种思路:对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等11BCD【分析】去绝对值号,将函数变为分段函数,分段求值域,在化为分段函数时应求出每一段的定义域,由三角函数的性质求之【详解】解:由题意可得:32cos(2,2)2cossincos44()sincossincos2sinsi
10、ncos52sin2,244xxkkxxxf xxxxxxxxxxkk,函数图象如下所示故对称轴为4xk,kZ,故 A 正确;显然函数在,04上单调递增,0,4上单调递减,故 B 错误;当524xk,kZ时函数取得最小值 min2f x,故 D 错误;要使12()()4f xf x,则12()()2f xf x,则112 xk=或1122xk,222xk 12AC【详解】对于 A 选项,以点 D 为坐标原点,DA、DC、1DD 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz,则点 2,0,0A、2,2,0B、设点0,2,02Maa,AM 平面,则 AM为平面 的一个法向量,且2,2
11、,AMa,0,2,0AB,224232cos,32288AB AMAB AMABAMaa ,所以,直线 AB 与平面 所成角的正弦值范围为32,32,A 选项正确;对于 B 选项,当 M 与1CC 重合时,连接1A D、BD、1A B、AC,在正方体1111ABCDA BC D中,1CC 平面 ABCD,BD Q平面 ABCD,1BDCC,四边形 ABCD 是正方形,则 BDAC,1CCACC,BD 平面1ACC,1AC Q平面1ACC,1ACBD,同理可证11ACA D,1A DBDD,1AC 平面1A BD,易知1A BD是边长为 2 2 的等边三角形,其面积为1232 22 34A BD
12、S,周长为 2 236 2.设 E、F、Q、N、G、H 分别为棱11AD、11A B、1BB、BC、CD、1DD 的中点,易知六边形 EFQNGH 是边长为2 的正六边形,且平面/EFQNGH平面1A BD,正六边形 EFQNGH 的周长为 6 2,面积为23623 34,则1A BD的面积小于正六边形 EFQNGH 的面积,它们的周长相等,B 选项错误;对于 C 选项,设平面 交棱11AD 于点,0,2E b,点0,2,1M,2,2,1AM ,AM 平面,DE 平面,AMDE,即220AM DEb ,得1b ,1,0,2E,所以,点 E 为棱11AD 的中点,同理可知,点 F 为棱11A B
13、 的中点,则2,1,2F,1,1,0EF,而2,2,0DB,12EFDB,/EF DB且 EFDB,由空间中两点间的距离公式可得2222015DE,222221 2205BF,DEBF,所以,四边形 BDEF 为等腰梯形,C 选项正确;对于 D 选项,将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面,如下图所示:若 AMMN最短,则 A、M、N 三点共线,11/CCDD,2 2222 22MCACDNAD,11222MCCC,所以,点 M 不是棱1CC 的中点,D 选项错误.故选:AC.【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围,同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问
14、题,考查空间想象能力与计算能力,属于难题.13.因为1,1abab,所以2221aa bb ,所以 21a b,所以12a b,又因为2221441 432224aaababbb ,故答案为:3.【点睛】方法点睛:已知,a ba b ,求解 xayb的方法:(1)先将 xayb平方然后开根号,得到22222xaybx axya by b ,(2)代入,a ba b 的值,即可计算出 xayb14.【分析】利用换底公式可得4log(3),km mZ,求出43mk,结合1,2020 可得 25m,再利用等比数列的前n项和即可求解.【详解】当1k 时,11a 为幸福数,符合题意;当2k 时,1234
15、524log 5 log 6log(3)log(3)kka a aakk令4log(3),km mZ,则34,43mmkk.由 2432020542023,25mmkm .故“幸福数”的和为23451(43)(43)(43)(43)2345(43)(43)(43)(43)(43)54 1 4151 454(41)1513494 1故答案为:1349.1521,1ee【分析】分离参数,构造函数2ln1(),(0,xf xxexx,利用导数讨论()f x 的单调性,再结合关于 x 的方程ln10 xkxx 在0,e 上有两个不相等的实根等价于()yf x与 yk有两个交点,即可求出 k 的取值范围
16、.【详解】ln10 xkxx,2ln1xkxx,设2ln1(),(0,xf xxexx,312ln()xxfxx,设()12ln,(0,g xxx xe,2()10g xx ,即()g x 在0,e 是减函数,又(1)0g,当 01x时,()0g x,即()0fx,当1xe时,()0g x,即()0fx,()f x在0,1 为增函数,在1,e 为减函数,当0 x 时,()f x ,21()(1)1,eeffe,关于 x 的方程ln10 xkxx 在0,e 上有两个不相等的实根等价于()yf x与 yk有两个交点,由上可知211eke,实数k 的取值范围为21,1ee.故答案为:21,1ee.【
17、点睛】本题考查利用导数解决方程根的问题,属于较难题.162216xy3 5【分析】延长1FQ 与2PF 的延长线交于点 M,计算12142OQPFPF得到轨迹方程,取点2,0C,12 AMBMMCBMBC,解得答案.【详解】如图所示:延长1FQ 与2PF 的延长线交于点 M,则22121114222OQMFPMPFPFPFa,故轨迹方程为2216xy.取点2,0C,则12OCOMOMOA,MOCMOA,故12MCPA,13 52 AMBMMCBMBC,当 BMC 共线时等号成立.故答案为:2216xy;3 517【答案】(1)22nna;(2)是;答案见解析;(3)21nnTn.【分析】(1)
18、由1nnnaSS 可得数列 na是等比数列,即可求出通项公式;(2)可得出2nbn,利用定义可证明;(3)可得21 211111()2 2321nnbbnn,利用裂项相消法可求.【详解】(1)1n 时,得11+4aS,则12a,2n 时,由4nnaS得114nnaS,两式相减得120nnaa,即112nnaa,所以数列 na是等比数列,211222nnna;(2)2g2lonnban,1(2)(3)1nnbbnn,所以数列 nb是首项为 1,公差为 1 的等差数列;(3)22121log2,32,1 2nnnnbanbn bn ,21 21111111()(32)(1 2)(23)(21)2
19、2321nnbbnnnnnn,1111 111 11111()()()()2112 132 352 2321nTnn11(1)22121nnn .【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法可直接求解;(2)对于nna b结构,其中 na是等差数列,nb是等比数列,用错位相减法求和;(3)对于+nnab结构,利用分组求和法;(4)对于11nna a 结构,其中 na是等差数列,公差为 d,则111111nnnna adaa,利用裂项相消法求和.18.【详解】选 sinsin4 sinsinbAaBcAB,因为 sinsin4 sinsinbAaBcAB,所以由正弦定
20、理得sinsinsinsin4sinsinsinBAABCAB,即 2sinsin4sinsinsinBACAB,所以1sin2C,因为0,C,所以6C 或56C.若56C,由1+3sinsin4AB,而6A,6B,从而1sinsin4AB,矛盾,舍去.故6C,接下来求 ABC 的面积 S.法一:设 ABC 外接圆的半径为 R,则由正弦定理得224sinsin 6cRC,2 sin4sinaRAA,2 sin4sinbRBB,16sinsin4(13)abAB,111sin4(13)13222ABCSabC.法二:由(1)得3cos2C,即3coscossinsin2ABAB,1+3sinsi
21、n4AB,13coscos4AB,1cos()coscossinsin2ABABAB,5 5(,)66AB,3AB或3BA,当3AB时,又56AB,712A,4B,由正弦定理得2sinsin42 2sinsin 6cBbC,1172123sin2 22sin2 2()1322122222ABCSbcA,当3BA时,同理可得13ABCS,故 ABC 的面积为13.选2cos22 3sin322CC,因为2cos22 3sin322CC,所以22cos13(1 cos)320CC,即22cos3cos30CC,(2cos3)(cos3)0CC,所以3cos2C 或cos3C (舍),因为0,C,所
22、以6C.以下同解法同,选(3)sinsinsinabAbBcC,由(3)sinsinsinabAbBcC及正弦定理得223ab abc,即2223abcab,由余弦定理得2223cos22abcCab,0C,6C,以下解法同.【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式,三角恒等变换,考查了运算能力,属于中档题.19 解:(1)取 PA 中点 N,连结QN,BN.Q,N 是 PD,PA 的中点,/QNAD,且12QNAD.PAPD,60PAD,12PAAD,12BCAD,QNBC,又/ADBC,/QNBC,BCQN 为平行四边形,/BNBC.又 BN 平面 PAB,且CQ 平面
23、PAB,/CQ平面 PAB;(2)取 AD 中点 M,连接 BM,取 AM 的中点O,连接 BO,PO.设2PA,由(1)得2PAAMPM,APM为等边三角形,POAM,同理 BOAM,平面 PAD 平面 ABCD,平面 PAD 平面 ABCDAD,PO 平面 PAD,PO 平面 ABCD.以O 为坐标原点,分别以OB,ODuuur,OP所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系Oxyz,则 0,1,0A,3,2,0C,0,0,3P,330,22Q,3,3,0AC,530,22AQ,设平面 ACQ 的法向量,mx y z,则00m ACm AQ,33053022xyyz,取3y ,得
24、3,3,5m,又平面 PAQ 的法向量1,0,0n r,3 37cos,37m nm nmn ,由图得二面角 PAQC的平面角为钝角,所以,二面角 PAQC的余弦值为3 3737.【点睛】本题考查线面平行的证明,考查二面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题20【答案】(1)2214xy;(2)过定点(2,-1).【分析】(1)设点00(,)M x y,根据 MA,BM 的斜率之积为14,可得000014yyxaxa,又 M 在椭圆上,所以2200221xyab,联立方程,可解得2ab,又根据题意3c,即可求得椭圆方程.(2)设(1)yk
25、xm m,1122(,),(,)E x yF xy,联立直线方程和椭圆方程,根据韦达定理可得1212,xx x x的表达式,根据题意121kk ,代入求解可得21mk ,代入直线,即可求得定点坐标.【详解】(1)由题意知3c,设点00(,)M x y,则000014yyxaxa,又点 M 在椭圆上,所以2200221xyab,联立可得2214ba,即2ab,又222abc及3c,解得:2,1ab所以椭圆方程为:2214xy.(2)直线l 过定点(2,-1),证明如下:设直线l:(1)ykxm m,1122(,),(,)E x yF xy,联立方程2214ykxmxy,整理得:222(1 4)8
26、440kxkmxm,222(8)4(1 4)(44)0kmkm,2121222844,1414kmmxxx xkk,所以12121212121111yykxmkxmkkxxxx=1212(1)()2mxxkx x,代入1212,xx x x得:2(1)(8)21(1)44mkmkmm,化简得21mk ,此时=-64k,所以存在 k 使得0 成立,所以直线 l 的方程为:-2-1ykxk,即(-2)(1)0k xy,所以直线 l 恒过定点(2,-1)【点睛】本题考查椭圆的几何性质与方程,解题的关键是联立直线与曲线方程,根据韦达定理可得1212,xx x x的表达式,再结合题意121kk ,代入求
27、解即可,计算量偏大,考查计算化简,分析理解的能力,属中档题.21已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点 F 到准线的距离为 2,且过点 F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长 MN 为 8(1)求直线l 的方程;(2)当直线l 的斜率大于零时,求过点,M N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程【答案】(1)1yx 或1yx ;(2)22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy【分析】(1)由题意得2,p(1,0)F,24yx,当直线 l 的斜率不存在时,不合题意;当直线 l 的斜率存在时,设方程为(1)(0)yk xk,与抛物线方程联立,利用韦达定理和抛物线的定义求出弦长,结合已
28、知弦长可求得结果;(2)设所求圆的圆心坐标为00(,)xy,根据几何方法求出圆的半径,根据直线与圆相切列式解得圆心坐标和半径,可得圆的方程.【详解】(1)由题意得2,p(1,0)F,24yx当直线 l 的斜率不存在时,其方程为1x,此时248MNp,不满足,舍去;当直线 l 的斜率存在时,设方程为(1)(0)yk xk由2(1)4yk xyx得2222(24)0k xkxk设1122(,),(,)M x yN xy,则216160k,且212224kxxk由抛物线定义得122222122444|(1)(1)22xkkMNMFNFxxxkk即22448kk,解得1k 因此 l 的方程为1yx 或
29、1yx .(2)由(1)取1,k 直线l 的方程为1yx,所以线段 MN 的中点坐标为(3,2),所以 MN 的垂直平分线方程为2(3)yx,即5yx 设所求圆的圆心坐标为00(,)xy,该圆的圆心到直线l 的距离为 d,则00|1|2xyd,则该圆的半径为222|162MNdd2001162xy,因为该圆与准线1x 相切,所以0022000511162yxyxx,解得0032xy或00116xy,当圆心为(3,2)时,半径为 4,当圆心为(11,6)时,半径为12,因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy22(1)在定义域0,上单调递增;(2)1,e【分析】(
30、1)先求得 l1,n0,xxfxaexx,利用导数可得1ln1xx 恒成立,故可得 f x 的单调区间.(2)0h x 对任意的0,1x恒成立等价于lnnlxxaeaexx对任意0,1x恒成立,就1xae 和1xae 结合 lnH xxx的单调性分类讨论可得xaex对任意0,1x恒成立,参变分离后再次利用导数可求 a 的取值范围.【详解】解:(1)因为()lnxf xaex,所以 l1,n0,xxfxaexx.令 ln1k xxx,则 21xkxx,当0,1x时,0kx,函数 k x 单调递减;当1,x 时,0kx,函数 k x 单调递增所以 110k xk,又因为0a,0 xe,所以 0fx
31、,f x 在定义域0,上单调递增.(2)由 0h x 得 0g xf x,即2lnlnxaexxxa,所以lnlnlnxxxaexxaexaae,即lnnlxxaeaexx对任意0,1x恒成立,设 lnH xxx,则 21 ln xHxx所以,当0,1x时,0Hx,函数 H x 单调递增,且当1,x 时,0H x,当0,1x时,0H x,若1xaex,则 0 xH aeH x,若01xae,因为 xH aeH x,且 H x 在0,1 上单调递增,所以xaex,综上可知,xaex对任意0,1x恒成立,即xxae对任意0,1x恒成立.设 xxG xe,0,1x,则 10 xxGxe,所以 G x 在0,1 单调递增,所以 11aG xGe,即 a 的取值范围为 1,e【点睛】本题考查函数的单调性以及含参数的不等式的恒成立,前者利用导数的符号来讨论,后者需等价变形把原不等式转化简单不等式的恒成立,再根据不等式的结构特征构建新函数来讨论,本题为较难题.