1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专项强化训练(六)概率与统计的综合问题1.(2015宁德模拟)某校高二年级在数学必修模块考试后随机抽取40名学生的成绩,按成绩共分为五组:第1组75,80),第2组80,85),第3组85,90),第4组90,95),第5组95,100),得到的频率直方图如图所示,同时规定成绩在90分以上(含90分)的记为A级,成绩小于90分的记为B级.(1)如果用分层抽样的方法从成绩为A和B的学生中共选出10人,求成绩为A和B的学生各选出几人.(2)已知a是在(1)中选出的成绩为B的学
2、生中的一个,若从选出的成绩为B的学生中选出2人参加某问卷调查,求a被选中的概率.【解析】(1)依题意,成绩为A级的学生人数是40(0.04+0.02)5=12(人),成绩为B级的学生人数是40-12=28(人),因为分层抽样的抽取比例为=,故成绩为A级的学生抽取出12=3(人),成绩为B级的学生抽取出28=7(人).(2)将(1)中选取的成绩为B级的学生记作:a,b,c,d,e,f,g.则从这7人中选取2人的基本事件有:ab,ac,ad,ae,af,ag,bc,bd,be,bf,bg,cd,ce,cf,cg,de,df,dg,ef,eg,fg共21个.其中含a的基本事件有:ab,ac,ad,a
3、e,af,ag共6个.记事件A=“学生a被选中”,则其概率P(A)=.2.(2015邯郸模拟)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表:平均每天喝500mL以上为常喝,体重超过50kg为肥胖.常喝不常喝总计肥胖2不肥胖18总计30已知在全部30人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为.(1)请将上面的列联表补充完整.(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由.(3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(2名女生),抽取2人参加电视节目,则正好抽到一男一女的概率是多少?参考数据:P(K2k)0.150.1
4、00.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246. 6357.87910.828 (参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d)【解析】(1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人,=,x=6.常喝不常喝总计肥胖628不肥胖41822总计102030(2)由已知数据可求得:k=8.5237.879,因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.(3)设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A,B,C,D,女生为E,F,则任取两人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种.其中一男一女有A
5、E,AF,BE,BF,CE,CF,DE,DF.故抽出一男一女的概率是P=.3.(2015合肥模拟)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:赔偿金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.【解析】(1)总车辆数n=500+130+100+150+120=1000.赔付金额0
6、,1000,2000,3000,4000大于投保金额2800元有:3000,4000元,分别对应车辆数为150,120.所以赔付金额大于投保金额2800元的概率P=0.27.(2)新司机总人数m=1000=100(人),赔付金额为4000元的新司机为120=24(人),所以在投保中,赔付金额为4000元的新司机所占概率P=0.24.所以新司机获赔金额为4000元的概率为0.24.4.空气质量指数PM2.5(单位:g/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,代表空气污染越严重:PM2.5日均浓度035357575115115150150250250空气质量级别一级二级三级四级五级
7、六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市2013年3月8日至4月6日(30天)对空气质量指数PM2.5进行检测,获得数据后整理得到如图条形图:(1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率.(2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个,求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率.【解析】(1)从空气质量条形图可知:这月30天中,空气质量为二级(即空气质量为良)的天数为16天,所以该城市一个月内空气质量类别为良的概率为=.(2)样本中空气质量级别为三级的有4天,设其编号为a,b,c,d;样本级别为四级的有2天,设其编号为e,f.则基本事件有:(a,b),(a,c),(a,d),
8、(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15个.其中至少有一天空气质量类别为中度污染的情况有:(a,e),(b,e),(c,e),(d,e),(a,f),(b,f),(c,f),(d,f),(e,f)共9个,所以至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为=.5.2014年春节期间,高速公路车辆剧增.高管局测控中心在一特定位置从七座以下小型汽车中按先后顺序,每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆进行电子测速调查,将它们的车速(km/h)分成六段80,85),85,90),90,95),95,
9、100),100,105),105,110)后得到如图的频率分布直方图.(1)测控中心在采样中,用到的是什么抽样方法?并估计这40辆车车速的中位数.(2)从车速在80,90)的车辆中任抽取2辆,求抽出的2辆车中车速在85,90)的车辆数为0的概率.【解析】(1)测控中心在采样中,用到的是系统抽样方法.设中位数的估计值为x,则0.015+0.025+0.045+0.06(x-95)=0.5,解得x=97.5,即中位数的估计值为97.5.(2)从图中可知,车速在80,85)的车辆数为m1=0.01540=2(辆),分别记为B1,B2;车速在85,90)的车辆数为m2=0.02540=4(辆),分别
10、记为A1,A2,A3,A4,从这6辆车中随机抽取两辆共有15种情况:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2).抽出的2辆车中车速在85,90)的车辆数为0的只有(B1,B2)一种,故所求的概率P=.6.(2015南平模拟)设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数,若对任意x1,2,都有|f(x)+g(x)|8,则称f(x)和g(x)是“友好函数”,设f(x)=ax,g(x)=.(1)若a1
11、,4,b-1,1,4,求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率.(2)若a1,4,b1,4,求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率.【解析】(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”,则|f(x)+g(x)|(x1,2)所有的情况有:x-,x+,x+,4x-,4x+,4x+,共6种且每种情况被取到的可能性相同.又当a0,b0时,y=ax+在上递减,在上递增;且y=x-和y=4x-在(0,+)上递增,所以对x1,2可使|f(x)+g(x)|8恒成立的情况有x-,x+,x+,4x-,故事件A包含的基本事件有4种,所以P(A)=,故所求概率是.(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”,因为a是从区间1,4中任取的数,b是从区间1,4中任取的数,所以点(a,b)所在的区域是长为3,宽为3的矩形区域.要使x1,2时,|f(x)+g(x)|8恒成立,需f(1)+g(1)=a+b8且f(2)+g(2)=2a+8,所以事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分.所以P(B)=,故所求概率是.关闭Word文档返回原板块
