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2022届高中数学 微专题44 线性规划——非常规问题练习(含解析).doc

上传人:高**** 文档编号:345020 上传时间:2024-05-27 格式:DOC 页数:6 大小:466KB
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资源描述

1、专题44 线性规划中的非常规问题一、基础知识: 在线性规划问题中,除了传统的已知可行域求目标函数最值之外,本身还会结合围成可行域的图形特点,或是在条件中设置参数,与其它知识相结合,产生一些非常规的问题。在处理这些问题时,第一依然要借助可行域及其图形;第二,要确定参数的作用,让含参数的图形运动起来寻找规律;第三,要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言,并进行精确计算。做到以上三点,便可大大增强解决此类问题的概率。二、典型例题:例1:不等式组所表示的平面区域为,若的面积为,则的最小值为_思路:先作出平面区域。直线,可判断出过定点,通过作图可得平面区域为直角三角形。所以三角形面积。从而,因为,所以

2、答案:32例2:关于的不等式组所确定的区域面积为,则的最小值为( )A. B. C. D. 思路:要求出的最值,则需要的关系,所以要借助不等式组的面积,先作出不等式的表示区域,从斜率可判断出该区域为一个矩形,可得长为,宽为,所以,即,作出双曲线,通过平移可得直线与相切时,取得最小值。即:解得,所以的最小值为答案:B例3:若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则实数的取值范围是( )A. 或 B. C. D. 或思路:本题约束条件含参,所以先从常系数不等式入手作图,直线为一组平行线,在平移的过程中观察能否构成一个三角形。一方面,本身就构成一个三角形。所以当时,不等式组的区域与区域相同,从而符合题

3、意。继续将直线向下平移。可得时,不等式组的区域为一个四边形。当时,从的区域中切割出来了一个三角形。所以符合题意。而时,不等式组无公共区域。综上所述,或答案:A例4:已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖,则圆的方程为_思路:作图可得可行域为直角三角形,所以覆盖三角形最小的圆即为该三角形的外接圆。,所以外接圆圆心为中点,半径为,所以圆方程为答案:例5:过平面区域内一点作圆的两条切线,切点分别为,记,则当最小时的值为( )A. B. C. D. 思路:通过作图可知与关于对称,从而,从而问题转化为寻找的最小值。可利用三角函数,且,所以越大,则越小,从而越小。将问题转化为在平面区域中寻找距离最远

4、的点。通过数形结合可得点,所以。从而答案:C例6:(2013,北京,8)设关于的不等式组,表示的平面区域内存在点满足,则的取值范围是_思路:约束条件含参,但两条直线有特点,和的交点,依题意可得平面区域与直线有公共点,结合图像可判断出,从而不等式组在直角坐标系中的区域为一个直角三角形(如图)。若区域与有公共点,则只需位于的下方即可。因为的下方区域对应的不等式为,代入可得答案:例7:当实数满足时,恒成立,则实数的取值范围是_思路一:先作出不等式组所表示的区域(如图),设,则有,则要对斜率的符号进行分类讨论,若,从图上可看出,不符题意;时,不符题意;若,无论为何值,最优解在顶点处取得,所以代入区域的

5、顶点,可得: ,解得思路二:从恒成立的不等式入手,考虑进行参变分离。由约束条件可得,所以恒成立不等式为,所以,只需找到两个分式的最值即可,而由分式可联想到斜率,所以作出平面区域,分别找区域中的点与定点连线斜率的最值即可。(处取得),(处取得),可得:答案:例8:若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分,则的值为( )A. B. C. D. 思路:在坐标系中作出可行域,如图所示为一个三角形,动直线为绕定点的一条动直线,设直线交于,若将三角形分为面积相等的两部分,则,观察可得两个三角形高相等,所以即为中点,联立直线方程可求得,则,代入直线方程可解得 答案:C例9:在约束条件,当时,目标函数的最大值的变化范围是( )A. B. C. D. 思路:目标函数可化为,斜率为介于直线斜率之间,先在坐标系中作出的范围,再平移直线,在移动过程中可发现时,可行域为四边形;当时,可行域为三角形。所以进行分类讨论:当,可行域为四边形,最优解为,联立方程:,所以;当时,可行域为三角形,最优解在取到,此时,综上所述, 答案:D例10:已知区域,则圆与区域有公共点,则实数的取值范围是_思路:先在坐标系中作出区域,圆的圆心为,半径为,所以只需确定圆心的取值范围即可,通过左右平移圆可观察到圆与直线和相切是取值的临界条件。当圆与相切时,则,由圆心位置可得;当圆与相切时,所以 答案:

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