1、数学试题（理科）一、单选题（本题每小题5分，共60分）1已知全集为，集合，则等于（ ）ABCD2设函数，则（ ）A3B4C5D63已知三条直线，三个平面，下列四个命题中，正确的是（ ）ABCD4.下列结论错误的是( )A命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”B“”是“”的充分不必要条件C命题：“， ”的否定是“， ”D若“”为假命题，则均为假命题5已知直线与，若平行，则k的值是（ ）.A3B5C3或5D06按照程序框图(如图)执行，第4个输出的数是（ ）A4B5C6D77已知正四棱柱中，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为( )ABCD8设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充
2、分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9若直线与圆相交所得弦长为，则（ ）A1B2CD310已知抛物线的焦点到准线的距离为，若抛物线上存在关于直线对称的不同两点和，则线段的中点坐标为（ ）ABCD11已知点为双曲线 右支上一点，分别为左右焦点，若双曲线的离心率为，的内切圆圆心为，半径为2，若，则的值是（ ）A2BCD612如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（ ）A B C D二、填空题（本题每题5分共20分）13抛物线（）的焦点到准线的距离为4，则抛物线的准线方程为 .14若直线把圆分成面积相等的两部分，的最小值为_.15命题:，使得成立
3、；命题，不等式恒成立.若命题为真，则实数的取值范围为_.16如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，现有如下四个结论：；平面；三棱锥的体积为定值；异面直线所成的角为定值，其中正确结论的序号是_.三、解答题（本题满分70分）17（本题满分10分）写出命题“若，则方程有实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.18（本题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若DAB=60，AB=2，AD=1（1）求证：PABD；（2）若PCD=45，求点D到平面PBC的距离h19（本题满分12分）已知命题；命题函数在区间上为减函数.（1）若命题为假命题
4、，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.20（本题满分12分）圆C过点，且圆心在直线上.（1）求圆C的方程；（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程.21（本题满分12分）已知椭圆：（），点是的左顶点，点为上一点，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与的另一个交点为（异于点），是否存在直线，使得以为直径的圆经过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.22（本题满分12分）已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，分别是的中点（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小；（3）线段上是否存在一个动点，使得直线与
5、平面所成角为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由.参考答案1C【解析】【分析】根据集合的交集与补集的定义求解即可【详解】解：，集合，又，故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集与补集运算，属于基础题2C【解析】【分析】根据的取值计算的值即可.【详解】解：，故，故选：C.【点睛】本题考查了函数求值问题，考查对数以及指数的运算，是一道基础题.3D【解析】试题分析：A.不正确，以墙角为例，可能相交；B.不正确，有可能平行；C.不正确，m,n可能平行、相交、异面；故选D。考点：本题主要考查立体几何中线线、线面、面面平行及垂直。点评：典型题，要求牢记立体几何中的定理。4B【解析】【分析】由逆否命题的
6、定义考查选项A，由不等式的性质考查选项B，由全称命题的否定考查选项C，由真值表考查选项D，据此确定所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给命题的真假：A. 同时否定条件和结论，然后以原来的条件为结论，以原来的结论为条件即可得到原命题的逆否命题，故命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”B. 若“”，当时不满足“”，即充分性不成立，反之，若“”，则一定有“”，即必要性成立，综上可得，“”是“”的必要不充分条件C. 特称命题的否定是全称命题，命题：“，”的否定是“，”，D. 由真值表可知：若“”为假命题，则均为假命题.即结论错误的为B选项.故选B.【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假
7、即可.否则，可利用以下结论进行判断：一个命题的否定与原命题肯定一真一假;原命题与其逆否命题同真假.5C【解析】【分析】由两直线平行的公式，可得，得到k代入直线方程检验是否重合，即得解.【详解】由于直线，故 或当时，两直线为： 当时，两直线为：故选：C【点睛】本题考查了已知直线平行求解参数，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.6D【解析】【分析】根据程序框图，模拟运算即可求出.【详解】第一次执行程序，输出1，第二次执行程序，输出，第三次执行程序，出，第四次执行程序，输出 ，故选D.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.7C【解析】【详解】平移成三角形用余弦定理解，或建
8、立坐标系解，注意线线角不大于,故选C.取DD1中点F，则为所求角, ，选C.8B【解析】【分析】解出不等式根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.【详解】由题解，解得：，解可得：；则不能推出成立，能推出成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题.9A【解析】【分析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.故选：A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.10
9、A【解析】【分析】求得曲线，设点，代入曲线方程，求出，又由，关于直线对称得出，进而求出线段的中点坐标.【详解】解：因为焦点到准线的距离为，则，所以设点，则，则，又，关于直线对称，即，又的中点一定在直线上，线段的中点坐标为故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题.11C【解析】【分析】利用的内切圆圆心为，半径为2 ，由，结合双曲线的定义求出,通过离心率求出，然后求解即可.【详解】点为双曲线右支上一点,分别为左右焦点,的内切圆圆心为,半径为2 ,因为，所以，可得，即，双曲线的离心率为，可得,则，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率以及双曲线的几何性质，属于中
10、档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.12A【解析】【分析】易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.【详解】由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，又所以，即，所以双曲线的离心率.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.13【解析】【分析】根据题意先求出的值，然后再写出准线方程即可.【详解】焦点到准线的距离为，准线方程为.故答案为：.【点
11、睛】本题考查抛物线的定义，考查对基本知识的理解和掌握，属于基础题.148【解析】【分析】由题意，圆心（4，1）代入直线1：ax+by+10，可得4a+b1，利用“1”的代换，结合基本不等式求最值，即可得出结论【详解】解：由题意，圆心（4，1）代入直线1：ax+by+10，可得4a+b1，（）（4a+b）44+48，当且仅当时取等号，的最小值为8.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及基本不等式的运用，关键是分析得到直线1：ax+by+10过圆的圆心15【解析】分析：命题为真，则都为真，分别求出取交集即可.详解：命题为真，则都为真，对，使得成立，则；对，不等式恒成立，则，又（当且仅当时取等），故
12、.故答案为.点睛：本题考查函数的性质，复合命题的真假判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.16【解析】【分析】对于，可由线面垂直证两线垂直；对于，可由线面平行的定义证明线面平行；对于，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对于，由，可得面，故可得出，此命题正确；对于，由正方体的两个底面平行，在平面内，故与平面无公共点，故有平面，此命题正确；对于，为定值，到距离为定值，所以三角形的面积是定值，又因为点到面距离是定值，故可得三棱锥的体积为定值，此命题正确；对于，由图知，当与重合时，此时与上底面中心为重合，则两异面直线所成
13、的角是，当与重合时，此时点与重合，则两异面直线所成的角是，此二角不相等，故异面直线所成的角不为定值，此命题错误综上知正确，故答案为【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.17【详解】逆命题：若有实数根，则.应为或，故为假命题；否命题：若，则方程没有实数根.取，方程有解为，故为假命题
14、；逆否命题：若方程没有实数根，则.真命题；【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.18（1）证明将解析；（2）【解析】【分析】（1）证明平面得到答案.（2）利用等体积法，计算得到答案.【详解】（1）在中，故.故.PD平面，故平面，故，故平面，平面，故.（2），故，故.中：，.故，故.【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19（1）（2）【解析】【试题分析】（1）假，则为真.当时，结论不成立，当时，开口要向下且判别式为非正数，由此列不等式组，求得的范围.（2）命题“”为真命题，“”为假命题，则命题一真一假，故分成真假，假真两种情况分别列不等
15、式组，求得的取值范围.【试题解析】（1）为假，所以为真，即，.当时，结论不成立；当时，解得.所以实数的取值范围是. （2）当为真，实数的取值范围是：，即. 命题“”为真命题,“”为假命题，命题，一真一假. 当真假时，则，得； 当假真时，则，得. 实数a的取值范围是或.20（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得线段垂直平分线的方程，与直线方程联立，求得圆心的坐标，由求得半径，由此求得圆的方程.（2）设出点坐标，由此求得点坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程.【详解】（1）直线的斜率，所以的垂直平分线m的斜率为1. 的中点的横坐标和纵坐标分别为，.因此，直线m的方程为.即.又圆心
16、在直线上，所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组，解得所以圆心坐标为，又半径，则所求圆的方程是.（2）设线段的中点，M为线段的中点，则，解得代入圆C中得，即线段中点M的轨迹方程为.【点睛】本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题.21（1）；（2）存在，【解析】【分析】（1）把点代入椭圆C的方程，再结合离心率，可得a,b,c的关系，可得椭圆的方程；（2）设出直线的方程，代入椭圆，运用韦达定理可求得点的坐标，再由，可求得直线的方程,要注意检验直线是否和椭圆有两个交点【详解】（1）由题可得，所以椭圆的方程（2）由题知，设，直线的斜率存在设为，则与椭圆联立得，若以为直径的圆
17、经过点，则，化简得，解得或因为与不重合，所以舍.所以直线的方程为.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了向量的数量积的运用，属于中档题.22（I）见解析，（），（）不存在【解析】【分析】（I）先根据面面垂直得线面垂直，再根据平行转化得结果，（）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果，（）先假设存在，根据（）可得平面法向量，再根据向量数量积得直线方向向量与法向量夹角，结合条件得方程，根据方程解的情况作判断.【详解】（I）证明：，,又,， （）取中点，连接， ， 如图以点为原点分别以所在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系,， ， ,设平面的法向量为，取又平面的法向量为， 设平面与平面所成锐角二面角为，平面与平面所成锐角二面角为.（）设， 即，无解，不存在这样的.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
