1、第3节等比数列及其前n项和考试要求1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式;2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题;3.了解等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式:q(n2,q为非零常数).(2)如果三个数a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,其中G.2. 等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1,公比是q,则其通项公式为ana1qn1;通项公式的推广:anamqnm.(2)
2、等比数列的前n项和公式:当q1时,Snna1;当q1时,Sn.3.等比数列的性质已知an是等比数列,Sn是数列an的前n项和.(1)若klmn(k,l,m,nN*),则有akalaman.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,akm,ak2m,仍是等比数列,公比为qm.(3)当q1,或q1且n为奇数时,Sn,S2nSn,S3nS2n,仍成等比数列,其公比为qn.常用结论与微点提醒1.若数列an,bn(项数相同)是等比数列,则数列can(c0),|an|,a,anbn,也是等比数列.2.由an1qan,q0,并不能立即断言an为等比数列,还要验证a10.3.在运用等比数列的前n项和
3、公式时,必须注意对q1与q1分类讨论,防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)等比数列公比q是一个常数,它可以是任意实数.()(2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2ac.()(3)数列an的通项公式是anan,则其前n项和为Sn.()(4)数列an为等比数列,则S4,S8S4,S12S8成等比数列.()解析(1)在等比数列中,q0.(2)若a0,b0,c0满足b2ac,但a,b,c不成等比数列.(3)当a1时,Snna.(4)若a11,q1,则S40,S8S40,S12S80,不成等比数列.答案(1)(2)(3)(4)
4、2.(老教材必修5P53T1改编)已知an是等比数列,a416,公比q2,则a1等于()A.2 B.2 C. D.解析由题意,得a4a1q38a116,解得a12.答案A3.(老教材必修5P61T1改编)等比数列an的首项a11,前n项和为Sn,若,则an的通项公式an_.解析因为,所以,因为S5,S10S5,S15S10成等比数列,且公比为q5,所以q5,q,则an.答案4.(2020晋冀鲁豫名校联考)公比不为1的等比数列an满足a5a6a4a718,若a1am9,则m的值为()A.8 B.9 C.10 D.11解析由题意得,2a5a618,a5a69,a1ama5a69,m10.答案C5.
5、(2018北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()A.f B.fC.f D.f解析由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f,公比为的等比数列,设此数列为an,则a8f,即第八个单音的频率为f.答案D6.(2019全国卷)设Sn为等比数列an的前n项和.若a1,aa6,则S5_.解析由aa6得(a1q3)2a1q5,整理得q3.所以S5.答案考点一等比数列
6、基本量的运算【例1】 (1)(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a53a34a1,则a3()A.16 B.8 C.4 D.2(2)(2020郴州一模)在数列an中,满足a12,aan1an1(n2,nN*),Sn为an的前n项和,若a664,则S7的值为()A.126 B.256 C.255 D.254解析(1)设等比数列an的公比为q,由a53a34a1得q43q24,得q24,因为数列an的各项均为正数,所以q2,又a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(1248)15,所以a11,所以a3a1q24.(2)数列an中,满足aan1an1(n2),则数列a
7、n为等比数列,设其公比为q,又由a12,a664,得q532,则q2,则S7282254.答案(1)C(2)D规律方法1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q1时,an的前n项和Snna1;当q1时,an的前n项和Sn.【训练1】 (1)等比数列an中各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S38a13a2,a416,则S4()A.9 B.15 C.18 D.30(2)设等比数列an满足a1a21,a1a33,则a4_.解析(1)设数
8、列an的公比为q(q0),则解得q2,a12,所以S430.(2)由an为等比数列,设公比为q.由得显然q1,a10,得1q3,即q2,代入式可得a11,所以a4a1q31(2)38.答案(1)D(2)8考点二等比数列的判定与证明【例2】 设数列an的前n项和为Sn,已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*).(1)求a2,a3的值;(2)求证:数列Sn2是等比数列.(1)解因为a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*),所以当n1时,a1212;当n2时,a12a2(a1a2)4,所以a24;当n3时,a12a23a32(a1a2a3)6,所以a38.综上,a24,a38.(
9、2)证明因为a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*),所以当n2时,a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1).,得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.所以Sn2Sn120,即Sn2Sn12,所以Sn22(Sn12).因为S1240,所以Sn120,所以2,故Sn2是以4为首项,2为公比的等比数列.规律方法1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时,要注意对n1的情形进行验证.【训练
10、2】 (2019长治二模)Sn为等比数列an的前n项和,已知a49a2,S313,且公比q0.(1)求an及Sn;(2)是否存在常数,使得数列Sn是等比数列?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.解(1)易知q1,由题意可得解得a11,q3,an3n1,Sn.(2)假设存在常数,使得数列Sn是等比数列,S11,S24,S313,(4)2(1)(13),解得,此时Sn3n,则3,故存在常数,使得数列Sn是以为首项,3为公比的等比数列.考点三等比数列的性质及应用【例3】 (1)(2020洛阳统考)等比数列an的各项均为正数,且a10a11a8a1364,则log2a1log2a2log2a20_.
11、(2)(一题多解)(2019西安模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn,若S1020,S30140,则S40()A.280 B.300 C.320 D.340解析(1)由等比数列的性质可得a10a11a8a13,所以a10a11a8a132a10a1164,所以a10a1132,所以log2a1log2a2log2a20log2(a1a2a3a20)log2(a1a20)(a2a19)(a3a18)(a10a11)log2(a10a11)10log2321050.(2)法一因为S10200,所以q1,由等比数列性质得S10,S20S10,S30S20,S40S30成等比数列,(S20S10)2
12、S10(S30S20),即(S2020)220(140S20),解得S2060,2,S40S30S1023,S40S30S1023300.故选B.法二设等比数列an的公比为q,由题意易知q1,所以20,140,两式相除得7,化简得q20q1060,解得q102,所以S40S30S10q30140160300,故选B.答案(1)50(2)B规律方法1.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若mnpq,则amanapaq”,可以减少运算量,提高解题速度.2.在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.【训
13、练3】 (1)(2020贵阳质检)在等比数列an中,若a3,a7是方程x24x20的两根,则a5的值是()A.2 B. C. D.(2)(一题多解)设等比数列an的前n项和为Sn,若3,则_.解析(1)根据根与系数之间的关系得a3a74,a3a72,由a3a740,所以a30,a70,即a51的n的最小值为()A.4 B.5 C.6 D.7解析数列an是各项均为正数的等比数列,且a2a4a3,aa3,a31.又q1,a1a21(n3),TnTn1(n4,nN*),T11,T2a1a21,T3a1a2a3a1a2T21,T4a1a2a3a4a11,故n的最小值为6.答案C13.(2020华大新高
14、考联盟质检)设等比数列an的前n项和为Sn,若a3a112a,且S4S12S8,则_.解析数列an是等比数列,a3a112a,a2a,q42,S4S12S8,1q41q12(1q8),将q42代入计算可得.答案14.(开放题)(2020山东模考)在b1b3a2,a4b4,S525这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k存在,求k的值;若k不存在,说明理由.设等差数列an的前n项和为Sn,bn是等比数列,_,b1a5,b23,b581,是否存在k,使得SkSk1,且Sk1Sk1,则只需SkSkak1,即ak10,同理,若Sk1Sk2,则只需Sk10.若选:b1b3a2时,a21910
15、,an3n16.当k4时,a50,SkSk1,且Sk1Sk2成立.若选:a4b427,a51,an为递减数列,故不存在ak10,即不存在k,使得SkSk1,且Sk1Sk2成立.若选:S525,S55a325,a35.an2n11.当k4时,a50,SkSk1,且Sk1Sk2成立.C级创新猜想15.(新背景题)(2019宁德质检)某市利用第十六届省运会的契机,鼓励全民健身,从2018年7月起向全市投放A,B两种型号的健身器材.已知7月份投放A型健身器材300台,B型健身器材64台,计划从8月起,A型健身器材每月的投放量均为a台,B型健身器材每月的投放量比上一月多50%,若12月底该市A,B两种健身器材投放总量不少于2 000台,则a的最小值为()A.243 B.172 C.122 D.74解析将每个月的投放量列表如下:月份投放量(台) 789101112A300aaaaaB64641.5641.52641.53641.54641.55则有64(1.51.521.531.541.55)643005a2 000,解得a74,所以a的最小值为74,故选D.答案D