1、2021 年高三第九次模考数学试题（理科）第卷 选择题（共 60 分）一、选择题（每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合2340UxZ xx，1,2,3A，1,1,2B ，则UCAB （）A.0,3 B.1,1,2,3 C.1,0,3,4 D.0,1,2,32.若 是第二象限角，则（）A.cos0 B.tan02 C.sin20 D.cos03.在等差数列 na中，44a，77a，其前n 项和为nS，则122020111SSS（）A.20192020 B.20202021 C.40392020 D.404020214.圆心在抛物线214y
2、x上，且与直线10y 相切的圆一定过的点是（）A.1,0 B.0,1 C.1,0 D.0,15.右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是()A.63 B.62 C.31 D.15 6.数学来源于生活，约 3000 年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数 19 的一种方法.例如：3 可表示为“”，26 可表示为“”，现有 5 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用19 这 9 个数字表示的所有两位数中，能被 4 整除的概率是（）A.12 B.512 C.13 D.7127.古代数
3、学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d 的一个近似公式3 169dV，人们还用过一些类似的近似公式.根据3.14159，判断下列近似公式中最精确的一个是（）A.3 169dVB.3 43dVC.3 116dVD.3 2111dV8.已知23log 2a，123log 2b，23ce，3212d，则（）A.cadbB.cabdC.acdbD.cdab9.已知向量a、b 是单位向量夹角为 900，向量36cab，sin,a c=（）A.63B.33C.22D.1210.等比数列na的各项均为实数，其
4、前 n 项和为nS，已知3676344SS,，则8a=()A.128 B.64 C.32D.1611.若()sinxf xx e，,22x y ，且 f xfy，则下列不等式一定成立的是（）A.xyB.xyC.xyD.xy12.若对于任意的120 xxm，都有211212lnln2xxxxxx，则m 的最大值为（）A.eB.1eC.2D.12三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.定义运算：abadbccd，若复数 z 满足 112zzi ，其中i 为虚数单位，则 z _ _.14.社会主义核心价值观是社会主义核心价值体系的高度凝练和集中表达，其基本内容概括为“富强、
5、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善”.其中“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标，“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向，“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则.现从这 12 个词语中任选 3 个，则恰有 2 个词语反映的是国家层面的价值目标的选法数有 _种.15.若、是两个不同的平面，m、n 是平面，之外的两条不同的直线，给出四个论断：mn；n；m。以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，写出一个你认为正确的命题：。16.设1F，2F 是双曲线224xy的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，过1F 作12F PF平分线的垂线，垂足为
6、 M，则点 M 到直线2 20 xy的距离的最大值是_ _.三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且3cossin3caBbA.（1）求 A；（2）若2BC，sinsin3BC，求ABC的周长.18.2020 年，由于新冠肺炎疫情的影响，2 月底学生不能如期到学校上课，某学校决定采用自治区教育网络平台和老师钉钉教学相合的方式进行授课，并制定了相应的网络学习规章制度，学生居家学习.经过一段时间授课，学校教务处对高一学生能否严格遵守学校安排，完成居家学习的情况进行调查，现从高一年级随机抽取了
7、 A、B 两个班级，并得到如下数据：（1）补全上面的2 2列联表，并且根据调查的数据，判断能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“学生能严格遵守学校安排，完成居家学习”和学生所在班级有关系；（2）网络授课结束后，高一年级 1540 名学生进行了测试，学生的数学成绩近似服从正态分布295,5N，若 90 分以下都算不及格，人数向上取整，问高一年级不及格的学生有多少人，并且估计全年级前两名学生的数学成绩是在多少分以上.附：参考公式：22n adbcKabcdacbd.临界值表：0.10.050.0250.010.0050.001 2.7063.8415.0246.6357.87910.
8、828若2,XN ，则 0.6826PX ，220.9544PX，330.9974PX.19.如图所示的几何体 ABCDEF 中，四边形 ABCD为菱形，/AFDE，AF 平面 ABCD，1AD ，2DE，BAD.班班合计严格遵守3657不能严格遵守合计5560AB0k20P Kk（1）求证：/BF平面CDE；（2）若60，求直线 AE 与平面CDE 所成角的正弦值；（3）若90，P 是EAC内的一，求点 P 到平面 ABCD，平面 EDA，平面 EDC 的距离的平方和的最小值.20.已知点 P 是平面直角坐标系 xOy 异于O 的任意一点，过点 P 作直线 1l：32yx及 2l：32yx
9、的平行线，分别交 x 轴于 M，N 两点，且228OMON.（1）求点 P 的轨迹C 的方程；（2）在 x 轴正半轴上取两点,0A m，,0B n，且4mn，过点 A 作直线l 与轨迹C 交于 E，F 两点，证明：sinsinEBAFBA.21.已知函数()axef xbx在1x 处取得极值e.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式2ln()1kxxx f x 在0,上恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修 44：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系 xOy
10、 中，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为2，直线l 的参数方程为23 33xtyt（t 为参数）.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点 2,3 3P，直线l 与曲线C 有不同的两个交点分别为 A，B，求 11PAPB的值.选修 45：不等式选讲23.已知函数()123f xxx.（1）求函数()f x 的最小值 M；（2）若0a，0b，且abM，证明：22111abab.2021 年高三第九次模考数学试题 理科数学参考答案第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1-5：CBDBA6-10：CDAAC11-12：AB第卷
11、二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.214.48 15.或16.4三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1）由已知及正弦定理得3sinsincossinsin3CABBA，在ABC中，sinsinCAB，3sincoscossinsincossinsin3ABABABBA，3cossinsinsin3ABBA，sin0B，3cossin3AA，tan3A，0,A，3A.（2）sinsinsinsin()sinsincoscossinBCBABBABAB3133sincossinsincos3sin322226BBBBBB.
12、sin16B，sin16B，sin16B，20,3B，5,666B，62B，3B，ABC，ABC是等边三角形，ABC的周长为 6.18.解：（1）A 班B 班合计严格遵守362157不能严格遵守193958合计55601152K 的观测值2115(36 3921 19)10.64677.87957 58 55 60k，能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“学生能严格遵守学校安排，完成居家学习”和学生所在班级有关系.（2）1 0.6826(90)()0.15872P XP X，1540 0.1587245（人），20.0013(3)1540P X，前 2 名分数在95 3 5110
13、分以上.19.（1）证明：四边形 ABCD是菱形，/ABCD，又 AB 平面CDE，CD 平面CDE，/AB平面CDE，/AFDE，AF 平面CDE，DE 平面CDE，/AF平面CDE，又 ABAFA，AB 平面 ABF，AF 平面 ABF，平面/ABF平面CDE，BF 平面 ABF，/BF平面CDE.（2）解：当60，即60BAD 时，过 A 作 AMCD，交CD 延长线于 M，连结 AM，EM，而 AF 平面 ABCD，又/AFDE，DE 平面 ABCD，DEAM，又 AMCD，CDDED，AM 平面CDE，AEM为 AE 与平面CDE 所成的角，22sin6015sin10AMADAEM
14、AEADDE，直线 AE 与平面CDE 所成角的正弦值为 1510.（3）解：若90，即90BAD，则 ADDC，所以四边形 ABCD为正方形；由点 P 是EAC内的一点，可设 P 点到平面 ABCD，平面 EDA，平面 EDC 的距离分别为 z，y，x，故只需算222xyz，相当于点 P 到点 D 的距离.要使得222xyz最小，当且仅当 PD 面 EAC.连接 AC 交 BD 于点O，连接 EO，过点 D 作 DP 垂直 EO 与点 P，DP 即为所求.又 DP EODE DO，则92222DP，得23DP.综上所述，点 P 到平面 ABCD，平面 EDA，平面 EDC 的距离的平方和的最
15、小值为 49.20.解：（1）设点 P 坐标为00,xy，则根据题意，得000022,0,033MxyN xy，由228OMON得：22000022833xyxy，化简得：2200143xy，所以轨迹C 的方程为：221(2)43xyx.（2）当直线l 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，sinsinEBAFBA成立.当直线l 的斜率存在，由题意，设直线l 的方程为：yk xm，11,E x y，22,F xy，由22143()xyyk xm得：222223484120kxk mxk m，有0 得：22234m kk，且2122834k mxxk，2212241234k mx xk，则12211
16、21212BEBFyxnyxnyykkxnxnxnxn1212122()2kx xkmknxxmnkxnxn，又22212122224128()2()223434kk mk m kmknkx xkmknxxmnkmnkkk224634kmnkk，因为4mn，所以0BEBFkk，则sinsinEBAFBA.综上所述，sinsinEBAFBA.21.解：（1）由题意知：2()()axaxae bxe bfxbx，则 100111aaaae be bebfaebfe，所以()xef xx，21()xexfxx，当1x 时，()0fx，()f x 在1,上单调递增，当1x 时，()0fx，()f x
17、在,1上单调递减.故()f x 的单调增区间为1,，单调减区间为,1.（2）由2ln()1ln1xkxxx f xkxxxe，因为0 x，所以分离变量得：ln1ln1xxxexxkexxx，令ln1()(0)xxg xexxx，则只需求()g x 的最小值即可.22221 ln1ln()xxxxxgexexxx，令2()ln(0)xhexxx x，21()20 xh xexxx，()h x 在0,上单调递增，又 10he，102h，01,12x使得 00h x，即：0200ln0 xxxe，移项并两边取对数得：0000lnlnlnlnxxxx，因为函数lnyxx在0,上单调递增，00lnxx，
18、即001xex，当00,xx时，()0g x，当0,xx 时，()0g x，()g x 在00,x上单调递减，在0,x 上单调递增，所以000min000000ln111()1xxxg xg xexxxxx，1k.二选一试题22.解：（1）由222xy，得曲线C 的直角坐标方程为224xy，由23 33xtyt（t 为参数），消去t 得直线l 的直角坐标方程为 330 xy.（2）由题意知，l 过点 2,3 3P，直线l 的参数方程为12233 32xtyt （t 为参数），代入曲线C 的直角坐标方程得211270tt，又121 108130，所以方程有两个不同的解 1t，2t，又 12110tt，12270t t，所以 10t，20t，由 1t，2t 的几何意义可知：1212121 21111112711tttttPAPBtt t.23.解：（1）由已知得：()12313f xxxxx 132xx，当且仅当3x 时，()f x 取最小值 2，所以2M.（2）由（1）知，2ab，则 114ab，所以22(1 1)(1 1)1111(1)2(1)2111111ababababab 111111(11)2411411baababab 111221411baab，当且仅当1ab时，不等式取等号，所以22111abab.
