1、解答题专题练(三)应用题(建议用时：40分钟)1.(2019南通密卷)如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北角方向的OB.位于该市的某大学M与市中心O的距离OM3 km，且AOM.现要修筑一条铁路L，在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M.其中tan 2，cos ，AO15 km.(1)求大学M与站A的距离AM；(2)求铁路AB段的长AB.2.(2019连云港模拟)某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10 cm的圆形包装纸包装要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥
2、的顶点，如图所示设正三棱锥的底面边长为x cm，体积为V cm3.(1)求V关于x的函数关系式；(2)在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？并求此时x的值3.(2019宿迁模拟)如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图已知AB为直径，且AB2 km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CDAB.现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧， C到D是线段CD.设AOCx rad，观光路线总长为y km.(1)求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)求观光路线总长的最大值. 4(2019南通模拟)为了净化空气，某科研单位根据实验
3、得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？ (2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1a4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)参考答案与解析1解：(1)在AOM中，AO15，AOM且cos ，OM3，由余弦定理得
4、，AM2OA2OM22OAOMcosAOM152(3)2215315151392315372.所以AM6，即大学M与站A的距离AM为6km.(2)因为cos ，且为锐角，所以sin ，在AOM中，由正弦定理得，即，所以sinMAO，所以MAO，所以ABO，因为tan 2，所以sin ，cos ，所以sinABOsin，又AOB，所以sinAOBsin()， 在AOB中，AO15, 由正弦定理得，即，所以AB30，即铁路AB段的长AB为30km. 2解：(1)正三棱锥展开如图所示当按照底边包装时体积最大设正三棱锥侧面的高为h0，高为h.由题意得xh010，解得h010x.则h ，x(0，10)所
5、以，正三棱锥体积VShx2 x2.(2)设yV2，求导得y，令y0，得x8， 当x(0，8)时，y0，所以函数y在(0，8)上单调递增，当x(8，10)时，y0，所以函数y在(8，10)上单调递减，所以，当x8 cm时，y取得极大值也是最大值. 此时y15 360，所以Vmax32cm3.故当底面边长为8cm时，正三棱锥的最大体积为32cm3. 3解：(1)由题意知，x1x，CD2 cos x，因为C为圆周上靠近A的一点， D为圆周上靠近B的一点，且CDAB，所以0x，所以yx2cos x，x.(2)记f(x)x2cos x，则f(x)12sin x，令f(x)0，得x， 当x变化时，f(x)
6、，f(x)的变化如表：xf(x)0f(x)递增极大值递减所以函数f(x)在x处取得极大值，这个极大值就是最大值， 即f， 故观光路线总长的最大值为千米. 4解：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)4y则当0x4时，由44，解得x0，所以此时0x4.当4x10时，由202x4解得x8，所以此时4x8.综上得0x8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天(2)设从第一次喷洒起，经x(6x10)天，浓度g(x)2(5x)a110xa(14x)a4.因为14x4，8，而1a4，所以44，8，故当且仅当14x4时，y有最小值为8a4.令8a44，解得2416a4，所以a的最小值为24161.6.
