1、第二部分专题五第3讲专题训练十九圆锥曲线的综合应用一、解答题1(2020沙坪坝区校级模拟)已知抛物线C：y22px(p0)，直线l经过点P(2p,0)，且与C相交于A，B两点，O为坐标原点(1)判断AOB的形状，并说明理由；(2)若5，且AOB的面积为5，求l的方程【解析】设直线l的方程为：xmy2p，代入y22px，化简得：y22pmy4p20，4p2m216p20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y24p2，(1)x1x24p2，x1x2y1y20，故AOB是直角三角形，斜边为AB.(2)|AB|2p，其中|y1y2|2p.由|4p25，又SAOB2p(|y1|
2、y2|)p|y1y2|2p25，由解得p1，m，故直线l的方程为：2x3y40或2x3y402(2019乌鲁木齐质检)已知F是椭圆y21的右焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点M是AB的中点，直线OM与直线x2交于点N.(1)求证：0；(2)求四边形OANB面积的最小值【解析】(1)证明：当直线AB斜率不存在时，直线AB与x轴垂直，ABFN，0，当直线AB斜率存在时，设斜率为k，则直线AB的方程为yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x0，y0，联立得(12k2)x24k2x2k220，得x1x2，x1x2，x0，y0，所以直线OM的方程为y，N，又F(1,0
3、)，kFN，ABFN，0(2)当直线AB斜率不存在时，直线AB与x轴垂直，S四边形OANB|AB|ON|2，当直线AB斜率存在时，S四边形OANBSOABSNAB，设点O到直线AB的距离为d1，点N到直线AB的距离为d2，则d1，d2|FN|，|AB|S四边形OANBSOABSNABd1|AB|d2|AB|AB|(d1d2)，所以四边形OANB面积的最小值为.3(2020陕西省汉中市质检)已知抛物线：y24x的焦点为F，直线l：yk(x2)(k0)与抛物线交于A，B两点，AF，BF的延长线与抛物线交于C，D两点(1)若AFB的面积等于3，求k的值；(2)记直线CD的斜率为kCD，证明：为定值，
4、并求出该定值【解析】(1)设A，B，由得ky24y8k0，1632k20，y1y2，y1y28，SAFB123，解得k2(2)设C，则，因为A，F，C共线，所以y3y10即yy340，解得：y3y1(舍)或y3，所以C，同理D，kCD2k，故2(定值)4(2020梅州二模)已知两动圆F1：(x)2y2r2和F2：(x)2y2(4r)2(0r4)，把它们的公共点的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，且曲线C上的相异两点A、B满足：0(1)求曲线C的方程；(2)证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标；(3)求ABM面积S的最大值【解析】(1)设两动圆的公共点为Q，则有|QF1|Q
5、F2|4(4|F1F2|)由椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆，a2，c.b1，所以曲线C的方程是：y21(2)证明：由题意可知：M(0,1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当AB的斜率不存在时，易知满足条件0的直线AB为：x0，过定点N；当AB的斜率存在时，设直线AB：ykxm，联立方程组：，把代入有：(14k2)x28kmx4m240，x1x2，x1x2，因为0，所以有x1x2(kx1m1)(kx2m1)0，(1k2)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20，把代入整理：(1k2)k(m1)(m1)20，(有公因式m1)继续化简得(m1)(5m3)0，或m或m1(舍)，综合斜率不存在的情况，直线AB恒过定点N.(3)ABM面积SSMNASMNB|MN|x1x2|，由第(2)小题的代入，整理得：S，因N在椭圆内部，所以kR，可设t2，S(t2)，4t，S(k0时取到最大值)所以ABM面积S的最大值为.
