1、高考资源网（） 您身边的高考专家专题5导数与函数的零点1.求解函数零点个数问题的三个步骤第一步:转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题;第二步:利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象;第三步:结合图象求解.2.根据函数零点情况求参数范围(1)要注意端点的取舍;(2)选择恰当的分类标准进行讨论.3.求与函数零点有关的参数范围的四个技巧(1)对函数求导;(2)分析函数在区间(a,b)上的单调情况;(3)数形结合分析极值点;(4)依据零点的个数确定极值的取值范围,从而得到参数的范围.利用导数研究函数零点的思路第一步求导数:利用运算法则求导
2、,要注意函数的定义域;第二步找关系:根据几何意义,极值点,极值等寻求等量关系;第三步寻突破:利用第一问的结论,或函数的单调性,结合图形,寻找讨论的依据;第四步逐段清:分段讨论,确定每段的结论;第五步得结论:根据每段的情况,下结论.1.关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分.如分类讨论确定是否存在零点.2.计算分:计算准确是根本保证.3.规范分:审视思路,规划并书写规范步骤.4.重视转化思想在研究函数零点中的应用,如方程的解、两函数图象的交点均可转化为函数零点,充分利用函数的图象与性质,借助导数求解.【典例】(12分)(2020全国卷)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时
3、,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.(1)函数求导解不等式确定单调区间;(2)问题转化方程有两解构造函数单调性求解.【标准答案】(1)当a=1时,f(x)=ex-(x+2),f(x)=ex-1,2分令f(x)0,解得x0,解得x0,4分所以f(x)的减区间为(-,0),增区间为(0,+);5分(2)若f(x)有两个零点,即ex-a(x+2)=0有两个解,因为f(-2)=e-20,所以f(x)的解一定不是-2,所以a=有两个解,令h(x)=(x-2),7分则有h(x)=,令h(x)0,解得x-1,令h(x)0,解得x-2或-2x-1,所以函数h(x)在(-,-2)
4、和(-2,-1)上单调递减,在(-1,+)上单调递增,9分且当x-2时,h(x)h(-1)=,11分满足条件的a的取值范围是:.12分测试目标(1)利用导数研究函数的单调性;(2)构造函数,结合函数单调性求解测试目标数学抽象:由零点问题抽象出方程有解;逻辑推理:函数单调性与方程有解;数学建模:构造函数;数学运算:函数求导,解不等式已知函数f(x)=ex-1,g(x)=+x.(其中e是自然对数的底数,e=2.718 28)(1)证明:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点;(2)说明方程f(x)=g(x)的根的个数.1.(参数范围)若函数f(x)=ax3-bx+4(a,bR),
5、当x=2时,函数f(x)有极值-.(1)求函数的解析式;(2)求函数的极值;(3)若关于x的方程f(x)=k有三个零点,求实数k的取值范围.2.(零点个数)已知f(x)=ex-mx.(1)若曲线y=ln x在点(e2,2)处的切线也与曲线y=f(x)相切,求实数m的值;(2)试讨论函数f(x)零点的个数.3.(零点与单调性)已知函数f=ln x-ax.(1)讨论f的单调性;(2)若a=-1,当x0时,函数g=x2-2mf有且只有一个零点,求m的值.4.(零点与最值)已知函数f=-a.(1)当a=-2时,求f的最值;(2)讨论f的零点个数.5.(零点与极值)已知函数f(x)=(x+2)ln x+
6、ax2-4x+7a(aR).(1)若a=,求函数f(x)的所有零点;(2)若a,证明函数f(x)不存在极值.6.(零点与极值、单调性)已知函数f(x)=xln x+x2-ax(aR).(1)若a=3,求f(x)的单调性和极值;(2)若函数y=f(x)+至少有1个零点,求a的取值范围.7.(与数列结合)已知函数f(x)=xln x+1-ax(aR).(1)讨论f(x)的零点个数.(2)正项数列满足a1=,an+1=ln+1(nN*),求证:+n+1.8.(探索问题)已知函数f=ax-ln x-a.(1)求函数f的极值;(2)是否存在实数a,使方程f=0有两个不同的实数根?若存在,求出实数a的取值
7、范围;若不存在,请说明理由.专题5导数与函数的零点【模拟考场】【解析】(1)h(x)=f(x)-g(x)=ex-1-x,所以h(1)=e1-1-1=e-30,又h(x)在(1,2)上连续,所以h(x)在区间(1,2)上有零点.(2)由(1)可知h(x)=f(x)-g(x)=ex-1-x.由g(x)=+x知x0,+),而h(0)=0,则x=0为h(x)的一个零点.又h(x)在(1,2)内有零点,因此h(x)在0,+)上至少有两个零点.h(x)=ex-1,记(x)=ex-1,则(x)=ex+.当x(0,+)时,(x)0,因此(x)在(0,+)上单调递增,易知(x)在(0,+)内至多有一个零点,即h
8、(x)在(0,+)内至多有两个零点,则h(x)在0,+)上有且只有两个零点,所以方程f(x)=g(x)的根的个数为2./高考演兵场检验考试力/1.【解析】(1)f=3ax2-b,由题意知解得故所求的解析式为f=x3-4x+4;(2)由(1)可得f=x2-4=,令f=0,得x=2或x=-2,列表如下:x-22f+0-0+f极大值极小值所以当x=-2时,f有极大值f=,当x=2时,f有极小值f=-;(3)由(2)知,当x2时,f为增函数;当-2x2时,f为减函数,所以函数f=x3-4x+4的图象大致如图,由图可知当-k时,f与y=k有三个交点,所以实数k的取值范围为.2.【解析】(1)曲线y=ln
9、 x在点(e2,2)处的切线方程为y-2=(x-e2),即y=x+1.令切线与曲线f(x)=ex-mx相切于点(x0,-mx0),则切线方程为y=(-m)x-(x0-1),所以所以=1,令m+e-2=t,则t(1-ln t)=1,记g(t)=t(1-ln t),g(t)=1-(1+ln t)=-ln t,于是,g(t)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,所以g(t)max=g(1)=1,于是t=m+e-2=1,m=1-e-2.(2)f(x)=ex-m,当m0恒成立,f(x)在R上单调递增,且f(0)=10,f=-10时,令f(x)0,则xln m,即函数f(x)的增区间是(ln m
10、,+),同理,减区间是(-,ln m),所以f(x)min=m(1-ln m).()若0m0,f(x)在R上没有零点;()若m=e,则f(x)=ex-ex有且仅有一个零点;()若me,则f(x)min=m(1-ln m)e时,h(m)单调递增,h(m)h(e)0.所以f(2ln m)=m2-2mln m=m(m-2ln m)m(e-2)0,又因为f(0)=10,所以f(x)在R上恰有两个零点,综上所述,当0me时,函数f(x)没有零点;当me时,f(x)恰有两个零点.3.【解析】(1)函数f的定义域为,且f=-a=.当a0时,f0,所以函数f在上单调递增.当a0时,令f=0,得x=,由f0得0
11、x,由f,所以函数f在上单调递增,在上单调递减.(2)由题意知g=x2-2mln x-2mx,则g=,x0,令g=0,得x1=0(舍去),x2=,当x时,g0,g在上单调递增;所以g的最小值为g,因为函数g有且只有一个零点,所以g=0.由得所以2mln x2+mx2-m=0,因为m0,所以2ln x2+x2-1=0.(*)设函数y=2ln x+x-1,易知当x0时,该函数是增函数,且当x=1时,y=0,所以方程(*)的解为x2=1,所以x2=1,解得m=.4.【解析】(1)因为a=-2,所以f=+2,所以f=-,令f0,得x0;令f0,则f在上单调递增,在上单调递减,故f在x=0时取得最大值,
12、f=3,没有最小值.(2)令f=-a=0,得a=.设g=,则g=,当x0时,g0,当x0,所以g在上单调递增,在上单调递减,所以gg=1,而当x-1时,g0;当x-1时,g1时,方程g=a无解,即f没有零点;当a=1时,方程g=a有且只有一解,即f有唯一的零点;当0a1时,f没有零点;当a=1或a0时,f有唯一的零点;当0a1时,f有两个零点.5.【解析】(1)当a=时,f=ln x+x2-4x+,函数f的定义域为,且f=ln x+x-3.设g=ln x+x-3,则g=-+1= .当0x1时,g1时,g0,即函数g在上单调递减,在上单调递增,所以当x0时,gg=0(当且仅当x=1时取等号).即
13、当x0时,f0(当且仅当x=1时取等号).所以函数f在上单调递增,至多有一个零点.因为f=0,所以x=1是函数f唯一的零点.所以若a=,则函数f的所有零点只有x=1.(2)方法一:因为f=ln x+ax2-4x+7a,函数f的定义域为,且f=ln x+2ax-4.当a时,fln x+x-3,由(1)知ln x+x-30.即当x0时f0,所以f在上单调递增.所以f不存在极值.方法二:因为f=ln x+ax2-4x+7a,函数f的定义域为,且f=ln x+2ax-4.设m=ln x+2ax-4,则m=-+2a= .设h=2ax2+x-2,则m与h同号.当a时,由h=2ax2+x-2=0,解得x1=
14、0.可知当0xx2时,h0,即mx2时,h0,即m0,所以f在上单调递减,在上单调递增.由(1)知ln x+x-30.则f=ln x2+x2-3+x2x20.所以ff0,即f在定义域上单调递增.所以f不存在极值.6.【解析】(1)当a=3时,f(x)=xln x+x2-3x,所以f(x)=ln x+2x-2,当0x1时,ln x0,2x-20,所以f(x)=ln x+2x-21时,ln x0,2x-20,所以f(x)=ln x+2x-20,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=-2,无极大值.(2)因为f(x)+=xln x
15、+x2-ax+,由xln x+x2-ax+=0得a=ln x+x+,令g(x)=ln x+x+,则g(x)=+1-=,由g(x)=0得xex=1.令h(x)=xex,当x0时,h(x)=(x+1)ex0,所以h(x)=xex在(0,+)上单调递增,因为h=1,所以存在x0,使得x0=1,且当x时,h(x)1,即xex-11,即xex-10,因为x+10,x2ex0,所以当x时,g(x)0,所以g(x)在上单调递减,在上单调递增,所以g(x)在x=x0处取得最小值g=ln x0+x0+,因为x0=1,所以ln=ln 1=0,即ln x0+x0=0,所以ln x0+x0+=0+=1,即g=1,所以
16、当aa,所以函数y=f(x)+至少有1个零点,故a的取值范围是1,+).7.【解析】(1)f(x)的定义域为,令f(x)=ln x+1-a=0,则x=ea-1.当0xea-1时,f(x)ea-1时,f(x)0,所以f(x)在(0,ea-1)上单调递减,在(ea-1,+)上单调递增,所以f(x)的最小值为f(ea-1)=1-ea-1.当a0,此时f(x)无零点,当a=1时,1-ea-1=0,此时f(x)只有一个零点,当a1时,1-ea-10,又eaea-1,所以f(x)在(ea-1,+)上有且只有一个零点.f(e-a)=1-2ae-a=,令h(a)=ea-2a,h(a)=ea-2,因为a1,所以
17、h(a)0,所以h(a)h(1)=e-20,所以2a0,所以f(x)在(0,ea-1)上有且只有一个零点.综上:当a1时,函数有两个零点.(2)由(1)知:当a=1时,f(x)0,所以ln x1-,所以an+1=ln +12-=,所以=+,所以-1,所以-1=,所以+1,所以+n+=n+1-n+1.8.【解析】(1)由题意知f的定义域为,f=a-=.当a0时,f0时,令f=0,得x=.当0x时,f时,f0,所以函数f在上单调递增.此时,函数f有极小值,为f=1-a+ln a,无极大值.综上,当a0时,函数f无极值;当a0时,函数f有极小值f=1-a+ln a,无极大值.(2)假设存在实数a,使
18、得方程f=0有两个不同的实数根,即函数f有两个不同的零点.当a0时,由(1)知函数f在上单调递减,所以方程f=0不存在两个不同的实数根.当0a1.因为f=0,所以由(1)知ff=0.f=+2ln a-a,令g=+2ln a-a,则g=-+-1=-+2ln 1-1=0,所以f=+2ln a-a0.此时,函数f在上也有一个零点,所以,当0a1时,01,因为f=0,所以由(1)知f0时,h0,h单调递增,所以当a0时,hh=10,所以eaa0,则0,所以函数f在上也有一个零点,所以,当a1时,函数f有两个不同的零点,综上所述,当a时,函数f有两个不同的零点,即方程f=0有两个不同的实数根.关闭Word文档返回原板块- 18 - 版权所有高考资源网
