1、考点测试50两条直线的位置关系与距离公式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1. 能根据两直线方程判断这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离一、基础小题1已知直线xa2y60与直线(a2)x3ay2a0平行，则a的值为()A0或3或1 B0或3C3或1 D0或1答案D解析由题意知13aa2(a2)0，即a(a22a3)0，解得a0，a1或a3，经验证当a3时，两直线重合故选D.2已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是()A10,10 B
2、10,5C5,5 D0,10答案D解析由题意得，点P到直线的距离为.又3，即|153a|15，解得0a10，所以a的取值范围是0,103已知直线4xmy60与直线5x2yn0垂直，垂足为(t,1)，则n的值为()A7 B9 C11 D7答案A解析由直线4xmy60与直线5x2yn0垂直得，202m0，m10.因为直线4x10y60过点(t,1)，所以4t1060，t1.又点(1,1)在直线5x2yn0上，所以52n0，n7.4已知点A(1,3)，B(5，2)，在x轴上有一点P，若|AP|BP|最大，则P点坐标为()A(3.4,0) B(13,0)C(5,0) D(13,0)答案B解析作出A点关
3、于x轴的对称点A(1，3)，则AB所在直线方程为x4y130.令y0得x13，所以点P的坐标为(13,0)5若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点()A(0,4) B(0,2) C(2,4) D(4，2)答案B解析直线l1：yk(x4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)的对称点为(0,2)又由于直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)6若两平行直线l1：x2ym0(m0)与l2：2xny60之间的距离是，则mn()A0 B1 C2 D1答案C解析因为l1，l2平行，所以1n2(2)，1(6)2m，解得n4，m3，
4、所以直线l2的方程为x2y30.又l1，l2之间的距离是，所以，解得m2或m8(舍去)，所以mn2，故选C.7直线axy3a10恒过定点M，则直线2x3y60关于M点对称的直线方程为 ()A2x3y120 B2x3y120C2x3y120 D2x3y120答案D解析由axy3a10，可得a(x3)(y1)0，令可得x3，y1，所以M(3,1)，M不在直线2x3y60上，设直线2x3y60关于点M对称的直线方程为2x3yc0(c6)，则，解得c12或c6(舍去)，所以所求方程为2x3y120，故选D.8已知x，y满足x2y50，则(x1)2(y1)2的最小值为()A B C D答案A解析(x1)
5、2(y1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方由已知可得点P在直线l：x2y50上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，即d，所以(x1)2(y1)2的最小值为d2.故选A.9已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线ykx1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是()A无论k，P1，P2如何，总是无解B无论k，P1，P2如何，总有唯一解C存在k，P1，P2，使之恰有两解D存在k，P1，P2，使之有无穷多解答案B解析因为直线ykx1一定不过原点O，P1，P2是直线ykx1上不同的两点，所以与不平行，因此a1b2a2b10，所以二元一次方程组一定有唯一
6、解故选B.10在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线l1：xmy2m10，l2：mxym20的交点为P，过点O分别向直线l1，l2引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为()A3 B C5 D答案D解析将直线l1的方程变形得(x1)m(2y)0，由得则直线l1过定点A(1,2)，同理可知，直线l2过定点A(1,2)，所以，直线l1和直线l2的交点P的坐标为(1,2)，易知，直线l1l2，如图所示，易知，四边形OMPN为矩形，且|OP|，设|OM|a，|ON|b，则a2b25，四边形OMPN的面积为S|OM|ON|ab，当且仅当即当ab时，等号成立，因此，四边
7、形OMPN面积的最大值为，故选D.11已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)y50互相平行，则2a3b的最小值为_答案25解析由两直线互相平行可得a(b3)2b，即2b3aab，1.又a，b为正数，所以2a3b(2a3b)1313225，当且仅当ab5时取等号故2a3b的最小值为25.12如图，已知A(2,0)，B(2,0)，C(0，2)，E(1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为_答案(4，)解析从特殊位置考虑如图，因为点A(2,0)关于直线BC：xy2的对称点为A1(2
8、,4)，所以kA1F4.又点E(1,0)关于直线AC：yx2的对称点为E1(2,1)，点E1(2,1)关于直线BC：xy2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，所以kFDkA1F，即kFD(4，)二、高考小题13(2016全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()A B C D2答案A解析圆的方程可化为(x1)2(y4)24，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线axy10的距离为1，解得a.故选A.14(2015山东高考)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或 B或C或 D或答案D
9、解析如图，作出点P(2，3)关于y轴的对称点P0(2，3)由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过点P0.故设反射光线为yk(x2)3，即kxy2k30.所以圆心到直线的距离d1，解得k或k.故选D.15(2015广东高考)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0答案A解析设与直线2xy10平行的直线方程为2xym0(m1)，因为直线2xym0与圆x2y25相切，即点(0,0)到直线2xym0的距离为，所以，|m|5.故所求直线的方程为2xy50或2xy50.故选A.16(2019江苏高考
10、)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线yx(x0)上的一个动点，则点P到直线xy0的距离的最小值是_答案4解析解法一：由题意可设P(x00)，则点P到直线xy0的距离d4，当且仅当2x0，即x0时取等号故所求最小值是4.解法二：设P(x00)，则曲线在点P处的切线的斜率为k1.令11，结合x00得x0，P(，3)，曲线yx(x0)上的动点P到直线xy0的最短距离即为此时点P到直线xy0的距离，故dmin4.三、模拟小题17(2019济南一模)若点P在直线3xy50上，且P到直线xy10的距离为，则点P的坐标为()A(1,2) B(2,1)C(1,2)或(2，1) D(2,1)或(1,2)答案C解
11、析设P(x,53x)，则d，化简得|4x6|2，即4x62，解得x1或x2，故点P的坐标为(1,2)或(2，1)18(2019九江高三模拟)设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分必要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析当a1时，直线l1：x2y10与直线l2：x2y40的斜率都是，截距不相等，两条直线平行，故前者是后者的充分条件；当两条直线平行时，得，解得a2或a1，后者不能推出前者，前者是后者的充分不必要条件故选C.19(2020云南昆明高三摸底考试)两条平行线l1，l2分别过点P(1,2)，Q(2，3)
12、，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是()A(5，) B(0,5C(，) D(0，答案D解析当直线PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0，故选D.20(2019山东省实验中学模拟)设a，b，c分别是ABC内角A，B，C所对的边，则直线sinAxayc0与bxsinBysinC0的位置关系是()A平行 B重合C垂直 D相交但不垂直答案C解析由题意可得直线sinAxayc0的斜率k1，直线bxsinBysinC0的斜率k2，k1k21，所以直线sinAxayc0与直线bxsinBysin
13、C0垂直，故选C.21(2019沈阳二模)已知A(2,0)，B(0,2)，若点C在函数yx2的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A4 B3 C2 D1答案A解析设点C(t, t2)，直线AB的方程是xy20，|AB|2.由于ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程2h2，即h.由点到直线的距离公式得，即|tt22|2，即t2t22或t2t22.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个22(2019岳阳模拟)已知动直线l：axbyc20(a0，c0)恒过点P(1，m)且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3，则的最小值为()A. B C1 D9答案B解析
14、因为动直线l：axbyc20(a0，c0)恒过点P(1，m)，所以abmc20，设点Q(4,0)到直线l的距离为d，当d|PQ|时取最大值，所以3，解得m0.所以ac2，则(ac)，当且仅当c2a时取等号23(2019安徽四校联考(二)已知入射光线经过点M(3，4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_答案6xy60解析设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.24(2019南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x
15、轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合若直线l与直线l1关于点(2,3)对称，则直线l的方程是_答案6x8y10解析由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：yk(x3)5b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为yk(x31)b52，即ykx34kb，b34kb，解得k，直线l的方程为yxb，直线l1的方程为yxb，取直线l上的一点P
16、，则点P关于点(2,3)的对称点为，6b(4m)b，解得b.直线l的方程是yx，即6x8y10.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2019周口模拟)已知两直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b值(1)l1l2，且直线l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解(1)因为l1l2，所以a(a1)b0.又因为直线l1过点(3，1)，所以3ab40.故a2，b2.(2)因为直线l2的斜率存在，l1l2，所以直线l1的斜率存在所以1a.又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b.
17、联立可得a2，b2或a，b2.2(2019北京东城区模拟)已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程解(1)设A(x，y)，由题意知解得所以A.(2)在直线m上取一点M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又因为m经过点N(4,3)，所以由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，因为P在直线l上，所以2(2x)3(4y)10，即2x3y90.
