1、专题十六圆锥曲线方程本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2019全国卷)已知F是双曲线C：1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点若|OP|OF|，则OPF的面积为()A. B. C. D.答案B解析由F是双曲线1的一个焦点，知|OF|3，所以|OP|OF|3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x00，y00，则解得所以P，所以SOPF|OF|y03.故选B.2(2019上饶模拟)设椭圆1(ab0)的左焦点为F1，离心率
2、为，F1为圆M：x2y22x150的圆心，则椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析圆心为(1,0)，c1，a2，b.故椭圆的方程为1.故选A.3(2019陕西十二校联考)若二次函数f (x)k(x1)(x2)的图象与坐标轴的交点是椭圆C：1(ab0)的顶点或焦点，则k()A. B C. D答案B解析由题意得，椭圆C的一个焦点为(1,0)，长轴的一个端点为(2,0)，所以a2，b，由(0，2k)是椭圆C的一个顶点，得2k或2k，所以k.故选B.4(2019广西三市联考)设P为椭圆C：1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|PF2|，则动点Q的轨迹方程
3、为()A(x2)2y228 B(x2)2y27C(x2)2y228 D(x2)2y27答案C解析P为椭圆C：1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|PF2|，|PF1|PF2|2a2，|PQ|PF2|，|PF1|PQ|F1Q|2，Q的轨迹是以F1(2,0)为圆心，2为半径的圆，动点Q的轨迹方程为(x2)2y228.故选C.5(2019武邑中学质检)已知双曲线1(a0，b0)，四点P1(4,2)，P2(2,0)，P3(4,3)，P4(4,3)中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.答案C解析根据双曲线的性质可得P3(4,3)，P4(4,3
4、)在双曲线上，则P1(4,2)一定不在双曲线上，则P2(2,0)在双曲线上，a2，1，解得b23，c2a2b27，c，e.故选C.6(2019潮州质量检测)若双曲线1(a0，b0)的渐近线与直线y1所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.答案A解析因为渐近线方程为yx，所以当y1时，x，所以12，即b，ca，e，故选A.7(2019天津高考)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B. C2 D.答案D解析由抛物线方程可得准线l的方程为x1，双
5、曲线的渐近线方程为yx.由解得y1，由解得y2，|AB|y2y1.|AB|4|OF|，4，即2.25，e.故选D.8(2019揭阳模拟)过双曲线1(a0，b0)的两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为()A2 B. C.1 D.答案D解析令xc，得|y|，由题意得2c，故c2a2ac，e2e10，e(负值舍去)，选D.9(2019吉林市调研)已知抛物线y24x的焦点为F，点A(4,3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则当PAF周长取得最小值时，线段PF的长为()A1 B. C5 D.答案B解析当PAF周长取得最小值时，|PA|PF|取得最小值，设
6、点P在准线上的射影为点D，根据抛物线的定义，可知|PF|PD|，因此，|PA|PF|取得最小值，即|PA|PD|取得最小值根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|PD|取得最小值，此时P，F (1,0)，PF的长为1.故选B.10(2019郑州质量检测)已知抛物线C：y22x，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点(A，B均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为()A2 B3 C. D4答案C解析设A(2t，2t1)，B(2t，2t2)由OAOB，得1，得出t1t21.又kAB，得直线AB的方程：y2t1(x2t)即x(t1t2)y20.令y0，解得
7、x2.直线AB恒过定点D(2,0)抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为FD2，故选C.11(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1答案B解析设椭圆的标准方程为1(ab0)，由椭圆定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF1|2|AB|4a.又|AF2|2|F2B|，|AB|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF2|a， A为椭圆的短轴端点如图，不妨设A(0，b)，又F2(1,0)，2，B.将
8、B点坐标代入椭圆方程1，得1，a23，b2a2c22.椭圆C的方程为1.故选B.12(2019洛阳二模)我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当F1PF260时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是()A. B. C. D2答案A解析设椭圆的长半轴长为a1，椭圆的离心率为e1，则e1，a1.双曲线的实半轴长为a，双曲线的离心率为e，e，a，设|PF1|x，|PF2|y(xy0)，则4c2x2y22xycos60x2y2xy，当点P被看作是椭圆上的点时，有4c2(xy)23xy4a3xy，当点P被看作
9、是双曲线上的点时，有4c2(xy)2xy4a2xy，两式联立消去xy得4c2a3a2，即4c2232，所以2324，又e，所以e24，整理得e44e230，解得e23或e21(舍去)，所以e，即双曲线的离心率为，故选A.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13(2019温州市高考适应性测试)已知F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线yx交椭圆于A，B两点，若cosAFB，则椭圆C的离心率是_答案解析设椭圆的左焦点为F1，直线AF1与直线BF的斜率相等，所以AF1BF，cosFAF1，设AF1m，AFn，在AFF1中由余弦定理，得(2c)2m2n22mncos
10、FAF1，又mn2a.所以mn4a24c2，即mn3b2，得A，B，所以|AB|，AFB中，由余弦定理，得2a22b2m2n22mncosAFB(mn)2mn，得mna2b2，所以3b2a2b2，即a25b2，离心率e.14(2019沈阳质量监测)抛物线y26x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为，则点M到坐标原点的距离为_答案3解析由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程是x，根据抛物线的定义可知，M(x1，y1)到焦点的距离等于它到准线的距离，所以x1，解得x13，y18，所以点M到坐标原点的距离|OM|3.15(2019江西九校联考)已知椭圆1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0,2
11、)，当点P在椭圆上运动时，APF的周长的最大值为_答案14解析如图所示，设椭圆的左焦点为F，|AF|4|AF|，则|PF|PF|2a6，|PA|PF|AF|，APF的周长|AF|PA|PF|AF|PA|6|PF|46414，当且仅当三点A，F，P共线时取等号APF的周长的最大值等于14.16(2019北京市海淀区模拟)已知椭圆C1：y21和双曲线C2：y21(m0)经过C1的左顶点A和上顶点B的直线与C2的渐近线在第一象限的交点为P，且|AB|BP|，则椭圆C1的离心率e1_；双曲线C2的离心率e2_.答案解析椭圆中：a12，b11，所以c1，离心率e1，A(2,0)，B(0,1)，直线AB的
12、方程为yx1，因为|AB|BP|，所以B为AP的中点，设P(x，y)，则解得即P(2,2)双曲线的渐近线方程为yx，点P在渐近线上，所以22，所以m1.双曲线中：a21，b21，所以c2，离心率e2.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2019江淮十校联考)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为2，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1，)，椭圆的右顶点为A.(1)求椭圆C的方程；(2)过点D(2，2)的直线l与椭圆C相交于两个不同的点P，Q，记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，问k1k2是否为定值？并证明你的结论解(1)由题意可知，2
13、c2，则c1，b|OM|，a2，可得椭圆C的标准方程为1.(2)当直线PQ的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线PQ的斜率存在时，设直线方程为y2k(x2)，代入3x24y212得(34k2)x216(k2k)x(16k232k4)0.由48(8k1)0，得k0，b0)，因为离心率为2，所以c2a，ba.所以C的渐近线为xy0，由，得c2.于是a1，b，故双曲线C的方程为x21.(2)证明：设P(x0，y0)(x01)，因为A1(1,0)，A2(1,0)，可得直线A1P与A2P的方程分别为y(x1)，y(x1)由题设，得M，N，|MN|，MN的中点坐标为，于是圆D的方程为x22.因为x1，所以
14、圆D的方程可化为x2y2y30.当y0时，x，因此圆D经过两个定点(，0)和(，0)20(本小题满分12分)(2019广东质量检测)已知椭圆C1：1(ab0)与抛物线C2：yx21相交于A(1,0)，B(1,0)两点，C2的顶点是C1的一个焦点，过点B且斜率为k(k0)的直线l与C1，C2分别交于点M，N(均异于点A，B)(1)求C1的方程；(2)若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围解(1)抛物线yx21的顶点为(0，1)，即椭圆的下焦点为(0，1)，c1，由AB2，得b1，a2b2c22，C1的方程为x21.(2)设M(xM，yM)，N(xN，yN)，B点横坐标为xB，依题意知，直
15、线l的方程为yk(x1)，k0，与x21联立，消去y得(k22)x22k2xk220，则xMxB，得xM，yM，由得x2kxk10，由k24(k1)(k2)20，得k2，则xNxBk1，得xNk1，yNk(k2)，点A在以MN为直径的圆外，0，又A(1,0)，(xM1，yM)(xN1，yN)k0，解得k0)，直线yx1与C相交所得的弦长为8.(1)求p的值；(2)过原点O的直线l与抛物线C交于M点，与直线x1交于H点，过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点，求证：直线MN过定点解(1)由消去x可得y22py2p0，y1y22p，y1y22p，弦长为8，解得p2或p4(舍去)，p2.(2)证明：由(
16、1)可得y24x，设M，直线OM的方程为yx.当x1时，yH，则yNyH，代入抛物线方程y24x，可得xN，N，直线MN的斜率k，直线MN的方程为yy0，整理可得y(x1)，故直线MN过定点(1,0)22(本小题满分12分)(2019江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x1)2y24a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(1,
17、0)，F2(1,0)，所以F1F22，c1.又因为DF1，AF2x轴，所以DF2 .因此2aDF1DF24，从而a2.由b2a2c2，得b23.因此椭圆C的标准方程为1.(2)解法一：由(1)知，椭圆C：1，a2.因为AF2x轴，所以点A的横坐标为1.将x1代入圆F2的方程(x1)2y216，解得y4.因为点A在x轴上方，所以A(1,4)又F1(1,0)，所以直线AF1：y2x2.由得5x26x110，解得x1或x.将x代入y2x2，解得y.因此B.又F2(1,0)，所以直线BF2：y(x1)由得7x26x130，解得x1或x.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x1.将x1代入y(x1)，得y.因此E.解法二：由(1)知，椭圆C：1.如图，连接EF1.因为BF22a，EF1EF22a，所以EF1EB，从而BF1EB.因为F2AF2B，所以AB.所以ABF1E，从而EF1F2A.因为AF2x轴，所以EF1x轴因为F1(1,0)，由得y.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y.因此E.
