1、2011届华附、省实、广雅三校广州一模后联合适应性考试 理科数学 2011.3.21一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合 （ ） ABDCD.2已知函数，若，则（ ）A BCD3.下列命题不正确的是A如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直；B如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行；C如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直；D如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行4.xxy11B.xy11A.xy11C.y
2、11D.OOOO函数的图象的大致形状是 （ ）5. 设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、6在直三棱柱中，. 已知与分别为 和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的取值范围为 A. B. C. D. 7. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 A. 0.0324 B.0.0434 C.0.0528 D.0.05628.任意、，定义运算，则的A.最小值为 B.最小值为 C.最大值为 D.最大值为二、填
3、空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。开始否输出结束图1是9. 若框图（图1）所给程序运行的结果，那么判断框中可以填入的关于的判断条件是_ _10. 已知定义域为的函数满足，若成等差数列，则的值为 11. 若对一切R，复数的模不超过2，则实数的取值范围为 . 12.设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比为 . 13. 记集合，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是 . （二） 选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分14（几何证
4、明选讲选做题）如图，半径为2的O中，为的中点，的延长线交O于点，则线段的长为_.15（坐标系与参数方程选做题）曲线C的极坐标方程，直角坐标系中的点M的坐标为（0，2），P为曲线C上任意一点，则的最小值是 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题12分）已知（其中）的最小正周期为.(1) 求的单调递增区间;(2) 在中,分别是角的对边,已知求角.17.（本小题满分12分）在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为1,2,7），求：（1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；（2）甲、
5、乙两选手之间的演讲选手个数的分布列与期望.18.（本小题14分）如图2,在四面体中,且图2(1)设为的中点,证明:在上存在一点,使,并计算的值;(2)求二面角的平面角的余弦值.19.（本小题14分）在平面直角坐标系xoy中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（）求点P的轨迹方程；（）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。20.（本小题14分）已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为。（）求；（）证明：对于，若 。21.（本小题14分）（I）已知数列满足 ，满足， ，求证：。（II) 已知数列满足：a=1且。设mN
6、，mn2，证明（a+）（m-n+1）2011届华附、省实、广雅三校 广州一模后联合适应性考试数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：（每题5分，共40分）题号12345678选项DBCDDABB二、填空题（每题5分，共30分）9 102或3 11 123 13 14 15. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.解:(1) 2分 4分故递增区间为 6分(2)即或又故舍去，. 9分由得或,若,则.若,则. 12分注意：没有说明 扣两分17.解：(1)设表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则 表示 “甲、乙的演出序号均为偶数”.由等可能性
7、事件的概率计算公式得.4分(2)的可能取值为,5分 8分从而的分布列为01234510分所以,. 12分18.解法一:（1）在平面内作交于，连接.1分 又，。取为的中点，则 4分 在等腰中， 在中， ， 4分 在中， ， 5分 8分 （2）连接 ， 由，知：. 又， 又由，.又,又是的中点, 为二面角的平面角 10分 在等腰中， 在中， ， 在中, . 12分 14分解法二：在平面中,过点,作交于,取为坐标原点，分别以，,所在的直线为轴，轴,轴，建立空间直角坐标系 （如图所示） 1分则 为中点， 2分 设 . 即，. 6分所以存在点 使得 且. 8分（2）记平面的法向量为,则由，且，得， 故可
8、取 10分又平面的法向量为 . 11分. 13分二面角的平面角是锐角，记为，则 14分19.解：（）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，即，化简得点P的轨迹方程为圆S： 5分（）由前知，点P的轨迹包含两部分圆S： 与双曲线T：的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 8分（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P
9、的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 11分情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得该方程有唯一实数解的充要条件是或解方程得，解方程得。综合得直线L的斜率k的取值范围。 14分20.解:（）设则又故在区间上是增函数。 3分 6分（）证： 9分.15分，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立， 14分21.证明：（I）记 ，则 。 2分而。 4分因为，所以。 5分从而有 。 又因为，所以，即。从而有 。 6分 由（1）和（2）即得 。 综合得到 。左边不等式的等号成立当且仅当 n=1时成立。 7分 （II）不妨设即与比较系数得c=1.即又,故是首项为公比为的等比数列，故 10分这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.综合性较强.即证，当m=n时显然成立。易验证当且仅当m=n=2时，等号成立。设下面先研究其单调性。当n时， 12分即数列是递减数列.因为n2，故只须证即证。事实上，故上不等式成立。综上，原不等式成立。 14分12
