1、高考资源网（） 您身边的高考专家南宁三中20192020学年度上学期高二月考（二） 理科数学试题 2019.10 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给的四个选项中，只有一项符合）1直线xya0(a为常数)的倾斜角为()A30 B60 C120 D1502已知a，b，c是两两不同的三条直线，下列说法正确的是()A若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C若ab，则a，b与c所成的角相等D若ab，bc，则ac3若直线l1：x3ym0(m0)与直线l2：2x6y30的距离为，则m()A7 B C14 D174点P(4，2)与圆x2y
2、24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)215某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A100 B150 C200 D2506阅读程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为()A2 B4C6 D87已知等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为()ABC D8将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个
3、剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为()A B C36 D9如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()AO是AEF的垂心 BO是AEF的内心CO是AEF的外心 DO是AEF的重心10一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或 B或C或 D或11已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面
4、角CABD的余弦值为，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为() A2 B C D12两圆x2y22axa240 和x2y24by14b20恰有三条公切线，若aR，bR且ab0，则的最小值为()A1 B3 C D二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间80，130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有_株树木的底部周长小于100 cm14如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F，G分别是线段AE，BC的中点，
5、则AD与GF所成的角的余弦值为_15已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为_16已知圆O：x2y29及点C(2，1)，过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，直线l的方程为_三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）(1)求经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程(2)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，求圆C的面积18（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H(
6、1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形19（12分）已知ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m(cos B，cos C)，n(2ac，b)，且mn(1)求角B的大小；(2)若b，求ac的范围20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，DC6，AD8，BC10，PAD45，E为PA的中点 (1)求证：DE平面BPC；(2)线段AB上是否存在一点F，满足CFDB？若存在，试求出二面角FPCD的余弦值；若不存在，请说明理由21（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，且S3S550，a1，a4，a13成等比数列(
7、1)求数列an的通项公式；(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的前n项和Tn22（12分）已知直线l：4x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由高二月考（二）理科数学试题参考答案1B 直线的斜率为ktan ，又因为0180，所以602C 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交
8、、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确3B 直线l1：x3ym0(m0)，即2x6y2m0，因为它与直线l2：2x6y30的距离为，所以，求得m4A 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2y24上，所以xy4，即(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)215A 由题意，抽样比为，总体容量为3 5001 5005 000，故n5 0001006B 初始值S4，n1循环第一次：S8，n2；循环第二次：S2，n3；循环第三次：S4，n4，满足n3，输出S47C 如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图：因为OE1，所以OE，EF，则直观图A
9、BCD的面积S8D 由题意知91，解得x4所以s2(8791)2(9491)2(9091)2(9191)2(9091)2(9491)2(9191)2(16910190)9A 由题意可知PA，PE，PF两两垂直，所以PA平面PEF，从而PAEF，而PO平面AEF，则POEF，因为POPAP，所以EF平面PAO，EFAO，同理可知AEFO，AFEO，O为AEF的垂心10D 由已知，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30由反射光线与圆相切，则有d1，
10、解得k或k11D 取AB的中点为M，连接CM，取DE的中点为N，连接MN，CN，可知CMN即为二面角CABD的平面角，利用余弦定理可求CNCM，所以该几何体为正四棱锥，半径R，VR312A x2y22axa240，即(xa)2y24，x2y24by14b20，即x2(y2b)21依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则123，即a24b29，所以1，当且仅当，即ab时取等号13 24 底部周长在80，90)的频率为0.015100.15，底部周长在90，100)的频率为0.025100.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm的株数为(0.150.25)602
11、414 取DE的中点H，连接HF，GH由题设，HFADGFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)在GHF中，可求HF，GFGH，cosHFG15(x2)2(y1)25 由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)， Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆OPQ为直角三角形，圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r，因此圆C的方程为(x2)2(y1)2516xy30或7xy150 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x2，则P，Q的坐标分别为(2，)，(2，)，所以SOPQ222当直线l的斜率存在时，设l的方程为y1k(x2)，则圆心到直线PQ的距离
12、为d，且|PQ|2，则SOPQ|PQ|d2d，当且仅当9d2d2，即d2时，SOPQ取得最大值 因为2b，ac(，2即ac的取值范围是(，220(1)证明取PB的中点M，连接EM和CM，过点C作CNAB，垂足为点NCNAB， DAAB，CNDA，又ABCD，四边形CDAN为平行四边形，CNAD8，DCAN6，在RtBNC中，BN6，AB12，而E，M分别为PA，PB的中点，EMAB且EM6，又DCAB，EMCD且EMCD，四边形CDEM为平行四边形，DECMCM平面PBC，DE平面PBC，DE平面BPC(2)解由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DP分别为x，
13、y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(8，0，0)，B(8，12，0)，C(0，6，0)，P(0，0，8)假设AB上存在一点F使CFBD，设点F坐标为(8，t，0)，则(8，t6，0)，(8，12，0)，由0得t又平面DPC的一个法向量为m(1，0，0)，设平面FPC的法向量为n(x，y，z)又(0，6，8)，由得即不妨令y12，有n(8，12，9)则cosn，m又由图可知，该二面角为锐二面角，故二面角FPCD的余弦值为21(1)依题意得解得an2n1(2)3n1，bnan3n1(2n1)3n1，Tn353732(2n1)3n1，3Tn33532733(2n1)3n1(2n1)3n，两式相减得，2Tn32323223n1(2n1)3n32(2n1)3n2n3n，Tnn3n22(1)设圆心C(a，0)，则2a0或a5(舍)所以圆C的方程为x2y24(2)当直线ABx轴时，x轴平分ANB当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2若x轴平分ANB，则kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4，所以当点N为(4，0)时，能使得ANMBNM总成立- 13 - 版权所有高考资源网
