1、江苏省淮安市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.命题“，”的否定是( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，直接得到结果.【详解】因为的否定为，的否定为，所以命题否定为：，.故选：D.【点睛】本题考查特称命题的否定，难度较易.注意特称命题的否定为全称命题，全称命题的否定为特称命题.2.“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析
2、】【分析】根据与的互相推出情况，确定出是的何种条件.【详解】当时，所以不能推出，能推出，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，难度较易.注意一个基本事实：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围.3.准线方程为的抛物线的标准方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据准线方程确定出抛物线方程的基本形式，然后求解出的值即可得到抛物线的标准方程.【详解】因为准线方程为，所以设抛物线方程为，又因为准线方程，所以，所以抛物线标准方程为：.故选：A.【点睛】本题考查根据抛物线的准线方程求解抛物线的标准方程，难度较易.解答此类问题的思路
3、：根据焦点或准线设出标准方程，求解出方程中的值即可得到标准方程.4.若直线l的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数x的值是( )A. 1B. 5C. 1D. 5【答案】C【解析】分析】根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出的值.【详解】因为直线平面，所以，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若则有，若则有.5.函数的最小值是( )A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】将变形为，然后根据基本不等式求解出的最小值
4、即可.【详解】因为，所以，取等号时，即，所以.故选：C.【点睛】本题考查利用配凑法以及基本不等式求解最小值，难度较易.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.6.已知数列是等比数列，则( )A. B. C. 8D. 8【答案】D【解析】【分析】根据等比数列下标和的性质，得到是、的等比中项，从而可计算出的值.【详解】因为是等比数列，且，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查等比数列的性质运用，难度较易.在等比数列中，已知，则有.7.如图，已知分别为双曲线的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线与双曲线C相交于A，B两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是( ) A. B. C. D. 【答案】
5、A【解析】【分析】根据等边三角形的特点，用表示出，再结合即可计算出双曲线的离心率.【详解】因为且是等边三角形，所以，由双曲线的定义可知：，所以.故选：A.【点睛】本题考查根据几何图形的性质求解双曲线离心率，难度一般.求解椭圆或者双曲线的离心率时，若出现了特殊几何图形，可借助几何图形的性质（边、角等）求解离心率.8.九章算术中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将问题转化为等差数列问题，根据已知条件列出方程组求解出数列的首项和公差，然后即可求解出的值
6、.【详解】将等差数列记为，其中第节的容积为，因为，所以，所以，所以，所以第节的容积为.故选：C.【点睛】本题考查等差数列及其前项和简单综合应用，难度较易.已知关于等差数列的两个等式求解等差数列通项的常用方法：（1）构造关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差即可求解出通项公式；（2）利用等差数列的性质求解通项公式.二、多项选择题（在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.已知函数，则的充分不必要条件是( )A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】先求解出的解集，则充分不必要条件应是的真子集，由此作出判断即可.【详解】因为即的解集为：或
7、，所以的充分不必要条件应是或的真子集，所以满足条件.故选：BD.【点睛】本题考查命题成立的充分不必要条件的判断，难度较易.判断命题成立的充分不必要条件或必要不充分条件，可从命题成立的对象所构成集合的真子集关系考虑.10.与直线仅有一个公共点的曲线是( )A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】A根据圆心到直线的距离进行判断；B联立直线与椭圆方程利用进行判断；C根据双曲线的渐近线与直线的位置关系进行判断；D联立直线与抛物线方程利用进行判断.【详解】A圆心到直线的距离，所以直线和圆相切，所以仅有一个公共点，符合；B因为，所以，所以，所以直线与椭圆有两个交点，不符；C因为的渐近线方程为，
8、所以平行于渐近线且不与渐近线重合，所以与双曲线仅有一个公共点，符合；D因为，所以，所以，所以直线与抛物线有两个交点，不符.故选：AC.【点睛】本题考查直线与曲线的位置关系，难度一般.（1）判断直线与圆的交点个数可通过圆心到直线的距离和半径作比较得到结果；（2）判断直线与双曲线的交点个数，可先判断直线与双曲线的渐近线是否平行，若不平行可考虑通过联立方程利用进行判断.11.已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】先假设等比数列的通项公式，然后利用等比数列的通项公式逐项判断即可.【详解】设，A，此时为首项为，公比为的等比数列；B因
9、为，此时是首项为，公差为的等差数列；C因为，所以是首项为，公比为的等比数列；D因为，所以是首项为，公比为的等比数列.故选：ACD.【点睛】本题考查等比数列的判断，对学生的分析证明能力要求较高，难度一般.常用的判断等比数列的方法：通项公式法、定义法、等比中项法.12.如图，在正方体中，下列各式中运算的结果为的有( )A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】利用向量加法、减法以及向量的可平移性逐项进行化简计算即可得到结果.【详解】A，故错误；B，故正确；C，故正确；D，故正确.故选：BCD.【点睛】本题考查空间向量的化简运算，难度较易. 注意利用向量的可平移性进行化简运算.三、填空题
10、（其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知数列的前项和为，点在函数的图象上，则_.【答案】4【解析】【分析】将点的坐标代入到中，求解出的表达式，根据求解出，即可求解出的值.【详解】因为在的图象上，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查根据与的关系求解的通项公式，难度一般.根据求解数列通项公式时，注意.14.在空间直角坐标系中，若，则实数t的值为_.【答案】【解析】【分析】先根据点的坐标得到的坐标表示，再根据向量垂直对应的数量积为零计算出的值即可.【详解】因为，且，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查
11、根据空间向量的垂直关系求解参数，难度较易.已知，若，则有.15.若关于x的一元二次不等式的解集为 ，则实数的值为_.【答案】3【解析】【分析】根据一元二次不等式解集的特点，计算出的值，然后将和的值代入到对应的一元二次方程中即可得到的关系，从而可求的值.【详解】因为的解集为，所以，所以或，当时，所以，所以，当时，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查根据一元二次不等式的解集求参数关系，难度一般.注意一元二次不等式解集的端点值是对应的一元二次方程的根.16.已知椭圆()的焦点为，如果椭圆C上存在一点P，使得，且的面积等于4，则实数b的值为_，实数a的取值范围为_.【答案】 (1). (2)
12、. 【解析】【分析】根据椭圆的定义以及勾股定理、面积即可求解出的值；再根据以及椭圆中的取值范围即可求解出的范围.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以；又因为，设且，所以，所以，所以，所以，又因为且，所以，所以.故答案为：；.【点睛】本题考查椭圆的焦点三角形的面积求解以及根据椭圆方程中的范围求解参数范围，难度一般.其实，椭圆上任意一点（非左右顶点）与两焦点围成的焦点三角形的面积等于.四、解答题（请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知为等差数列的前n项和，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析
13、】【分析】（1）根据求解出等差数列的公差，再根据即可求解出的通项公式；（2）采用分组求和的方法分别对等差数列和等比数列进行求和，最后将结果相加即可.【详解】（1）是数列前n项和,且，又数列的通项公式为.（2）由（1）知令是数列的前n项和，其前n项和为.【点睛】本题考查等差、等比数列的综合运用，难度较易.求解形如的前项和（是等差数列，是等比数列），注意采用分组求和的方法.18.已知抛物线()经过点，直线l过抛物线C焦点F且与抛物线交于M、N两点，抛物线的准线与x轴交于点B.（1）求实数p的值；（2）若，求直线l的方程.【答案】（1）2；（2）或.【解析】【分析】（1）直接将点的坐标代入到抛物线方
14、程，即可求解出的值；（2）设出直线的方程，将直线方程与抛物线方程联立得到对应的韦达定理形式，将改写成韦达定理形式即可求解出直线的方程.【详解】（1）抛物线C过点（2）抛物线C为，焦点为，准线为抛物线准线与x轴交于点B，过焦点F的直线l与抛物线有两个交点.直线的斜率不为，故设直线为，设，化简得：，变形得：即，解得故直线的方程为或.【点睛】本题考查抛物线方程的求解以及根据坐标的韦达定理形式求解直线方程，难度一般.直线与圆锥曲线的综合问题中，若出现向量数量积运算，可优先考虑利用坐标的韦达定理形式解决问题.19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，点E是棱SD的中点.（1）求异面直线C
15、E与BS所成角的余弦值；（2）求二面角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据两条直线方向向量的夹角的余弦值求解出异面直线所成角的余弦值；（2）利用平面法向量夹角的余弦值结合具体图形，即可计算出二面角的大小.【详解】（1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示： 则，点E为SD中点，则，设异面直线CE、BS所成角为异面直线CE与BS所成角的余弦值为；（2）设平面EBC的法向量，则，令，得，取平面BCD一个法向量，求得法向量的夹角为.即二面角的大小为.【点睛】本题考查利用向量法求解异面直线所成角以及二面角，难度一般.（1）向量法求解异面直线所成角时，注意
16、异面直线所成角的余弦值等于直线方向向量所成角余弦值的绝对值；（2）向量法求解二面角的大小时，平面法向量夹角的余弦值不一定等于二面角的余弦值，需要结合具体图形判断.20.随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大.某物流公司为扩大经营，今年年初用192万元购进一批小型货车，公司第一年需要付保险费等各种费用共计12万元，从第二年起包括保险费、维修费等在内的所需费用比上一年增加6万元，且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入.（1）若该批小型货车购买n年后盈利，求n的范围；（2）该批小型货车购买几年后年平均利润最大，最大值是多少？【答案】（1） ；（2）该批小型货车购买8年后的年
17、平均利润最大，最大值是12.【解析】【分析】（1）列出利润的表达式，盈利则利润大于零，由此求解出的取值范围；（2）列出平均利润的表达式，利用基本不等式求解出平均利润的最大值.【详解】（1）由题意得：化简得：解得：，答：该批小型货车购买n年后盈利，n的范围为,且 （2）设批小型货车购买n年后的年平均利润为y则当且仅当时取“”，答：该批小型货车购买8年后的年平均利润最大，最大值是12.【点睛】本题考查二次函数模型以及基本不等式的实际应用，难度一般.解答问题的关键是能通过题意列出对应的表达式，同时在利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(的离
18、心率为，焦距为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M是椭圆C上一点，过点O作OM的垂线交直线于点N，设OM的斜率为k().求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据离心率以及焦距先求解出的值，然后即可求解出的值，从而的方程可求；（2）设出直线的方程，根据点到点的距离公式表示出，再根据斜率的关系亦可表示出，由此可判断出为定值.【详解】（1）椭圆的离心率为，椭圆的焦距为，求得：椭圆C的标准方程为；（2）OM的斜率为k，设直线OM为.，求得：，为定值1.【点睛】本题考查椭圆方程的求解以及椭圆中的定值问题，对学生的的分析和计算能力要求较高，难度一般.求解椭圆方程的两种思
19、路：（1）根据椭圆的定义求解方程；（2）根据的值求解椭圆方程.22.已知数列的前n项和为，且满足().（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由写出时对应的等式，两式作差即可证明为特殊数列，由此求解出的通项公式；（2）将不等式采用分离参数的方法分离出，由此得到与关于的式子的大小关系，通过数列的单调性可分析出关于的式子的最值，即可求出的范围.【详解】（1）-得，即当时，数列是等比数列，即当时，符合等比数列当时，是以2为首项，2为公比的等比数列；（2）要使恒成立，则，参变分离得令，当时，即当时，即.当时，有最小值为.实数的最大值为.【点睛】本题考查根据求解的通项公式以及根据数列单调性求解参数最值，难度一般.（1）数列的单调性的证明方法：将的结果与比较大小，若大于零，则是递增数列，若小于零，则是递减数列.；（2）数列求通项时若出现了的下标则需要标注，要注意验证是否符合条件.
