1、2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1下列命题正确的是（）A三点确定一个平面B一条直线和一个点确定一个平面C两条不平行的直线确定一个平面D梯形可确定一个平面2已知向量，且，则m（）A8B2C2D83某同学对他进入高中以来的数学测验的成绩进行了统计，得到如图所示的茎叶图其中的“茎”指竖线左边的一列数，它表示个数的高位，本茎叶图中的“茎”表示一个三位数的百位、十位数；“叶”指竖线右边的从“茎”旁边生出来的数，它表示一个数的低位，本茎叶图中的“1”表示相应三位数的个位数
2、如第二行：竖线左边为“12”，竖线右边第5个数为“7”，这两个数字结合起来就是该同学某次数学测验的成绩“127”则这组成绩的中位数、众数、极差分别是（）A130，122，36B131.5，122，36C131，136，29D131.5，122，294在三棱锥DABC中，ACBC，ACBC2，AD平面ABC，AD1，E是线段AC的中点，则异面直线AB和DE所成的角等于（）A135B120C60D455用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角已知过圆锥SO的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中
3、，面积最大的恰好是圆锥SO的轴截面，则圆锥SO的顶角的取值范围是（）A（0，）BCD6在ABC巾，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，ABC的面积为，则（）Aa2bcsinABC的最大值为D的最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.7已知复数和都是实数，若z1z2，则m 8已知直线ya（常数a0）与曲线的图象有无穷多个公共点，其中有3个相邻的公共点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离 9在三棱锥SABC中，作SO平面ABC，垂足为O给出下列命题：若三条侧棱SA，SB，SC与底面ABC所成的角相等，则O是ABC的外心；若三个侧面SAB，SBC，SCA与底面ABC所成的二面
4、角相等，则O是ABC的内心；若三组对棱SA与BC，SB与CA，SC与AB中有两组互相垂直，则O是ABC的垂心则其中真命题的序号是 10如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADCD，ABD是边长为2的正三角形，P是平面ABCD内的动点，设，则+的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤11设z，C，且|z|+（1）求z；（2）在|2|z|，求复数的模的取值范围12已知向量，设函数（xR）（1）求函数f（x）的单调递减区间和对称中心的坐标；（2）将函数yf（x）的图象向左平个单位后得到函数yg（x）的图象，若关于x的方程g（x）m在区间上有解求实数m的
5、取值范围13袋中装有除颜色外完全相同的的4个球，其中有3个黑球和1个白球现由甲乙两人从袋中轮流取球，取后不放，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，按下来再由乙取到有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率是相等，记事件Ai“第i次取到的球是白球”，i1，2，3试将下列件A1，A2，A3表示，并求出相应事件的概率（1）取球2次即终止；（2）最后一次取球的是甲14如图，在ABC中，B60，点D在边AB上，ADCD，BD1（1）若BCD的面积为，求AB的长：（2）若，求角A的大小15从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50350（度）之间，在进行适当分
6、组（每组为左闭右开区间），并列出频率分分布表、画频率分布直方图后，将频率分布方图的全部6个矩形上方线段的中点自左右的顺序依次相连，再删掉这6个矩形，就得到了如图所示的“频率分布折线图”（1）请画出频率分布直方图，并求出频率分布折线图x的值；（2）请结合频率分布直方图，求月用电量落在区间50，200）（度）内的用户的月用电量的中均数；（3）已知在原始数据中，月用电量落在区间50，200）（度）内的用户的月用电量的平均数为140（度），方差为1600，所有这100户的月川电量的平均数为188（度），方差为5200，且月用电最落在区间50，200）（度）内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相
7、同，求月用电量在区间200，350）（度）内的用户用电量的标准差（参考数据：142196，262676，7225184，482+16003904，1402+160021200，1882+520040544）16如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA平面ABCD，PAAB点E是PD的中点，作EFPC，交PC于点F（1）设平面PAB与平面ACE的交线为l，试判断直线PB与直线/的位置关系，并给出证明；（2）求平面PAB与平面ACE所成的较小的二面角的余弦值；（3）求直线PD与平面AEF所成角的正切值参考答案一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题
8、目要求的.1下列命题正确的是（）A三点确定一个平面B一条直线和一个点确定一个平面C两条不平行的直线确定一个平面D梯形可确定一个平面【分析】根据已知条件，利用平面的基本性质，以及推论，逐一判断即可【解答】对选项A，当三点共线时，不能确定一个平面，故A错误；对选项B：一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B错误；对选项C：如果这两条直线异面，则不可以确定一个平面，故C错误；对选项D，梯形的上底和下底是一对平行线，可以确定一个平面，故D正确故选：D2已知向量，且，则m（）A8B2C2D8【分析】利用向量垂直的性质直接求解解：向量，且，4+2m0解得m2故选：B3某同学对他进入高中以来的数学测验的成绩
9、进行了统计，得到如图所示的茎叶图其中的“茎”指竖线左边的一列数，它表示个数的高位，本茎叶图中的“茎”表示一个三位数的百位、十位数；“叶”指竖线右边的从“茎”旁边生出来的数，它表示一个数的低位，本茎叶图中的“1”表示相应三位数的个位数如第二行：竖线左边为“12”，竖线右边第5个数为“7”，这两个数字结合起来就是该同学某次数学测验的成绩“127”则这组成绩的中位数、众数、极差分别是（）A130，122，36B131.5，122，36C131，136，29D131.5，122，29【分析】共有22个数据，第11个数据和第12个数据的平均数为中位数；122出现的次数最多，为众数；找到最大值和最小值，差
10、值为极差解：共有22个数据，第11个数据为131，第12个数据为132，所以中位数为；数据122出现3次，出现次数最多，所以众数为122；最大值为112，最小值为148，所以极差为14811236；故选：B4在三棱锥DABC中，ACBC，ACBC2，AD平面ABC，AD1，E是线段AC的中点，则异面直线AB和DE所成的角等于（）A135B120C60D45【分析】作BC的中点F，则EFAB，所以异面直线AB和DE所成的夹角即直线EF和DE所成的夹角，求出DE，EF，FD，结合余弦定理可求出DEF120，进而得到异面直线AB和DE所成的角为60解：如图，作BC的中点F，则EFAB，所以异面直线A
11、B和DE所成的夹角即直线EF和DE所成的夹角，即DEF或其补角，因为ACBC，CACB2，所以，所以，因为AD平面ABC，所以ADAC，所以，连接AF，则，因为AD平面ABC，又AF平面ABC，所以ADAF，所以，在DEF中，由余弦定理可得，又DEF（0，180），所以DEF120，故直线EF和DE所成的夹角为60故选：C5用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角已知过圆锥SO的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥SO的轴截面，则圆锥SO的顶角的取值范围是（）A（0，
12、）BCD【分析】设圆锥的母线长为l，顶角为，求出过圆锥SO的两条母线的截面三角形面积S，求出S取得最大值时的值，即可求出的取值范围解：设圆锥的母线长为l，顶角为，则过圆锥SO的两条母线的截面三角形面积为Sl2sin，当sin1时S取得最大值，此时，所以圆锥的轴截面中，顶角的取值范围是（0，故选：B6在ABC巾，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，ABC的面积为，则（）Aa2bcsinABC的最大值为D的最大值【分析】根据三角形的面积公式可得出，从而得出A错误；根据余弦定理和可得出B错误；可得出，进而得出，从而判断C正确；可得出，从而判断D错误解：ABC的面积为，a2bcsinA，A错误；根据
13、余弦定理，且，B错误；，且tan2，的最大值为，C正确；，的最大值为1，D错误故选：C三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.7已知复数和都是实数，若z1z2，则m【分析】由题意利用两个复数相等的条件，结合同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，计算求得结果解：复数 和都是实数，若z1z2，则2tan，且 m（cos2+2sin2）cos2，m，故答案为：8已知直线ya（常数a0）与曲线的图象有无穷多个公共点，其中有3个相邻的公共点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离【分析】根据直线ya与曲线的图象交点成周期性出现，利用函数的周期性求出交点间的距离解：根据直线ya与曲线的图象交点
14、成周期性出现，其中3个相邻的交点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离恰好是1个周期，且y2|tan（3x）|的最小正周期为T，所以AC故答案为：9在三棱锥SABC中，作SO平面ABC，垂足为O给出下列命题：若三条侧棱SA，SB，SC与底面ABC所成的角相等，则O是ABC的外心；若三个侧面SAB，SBC，SCA与底面ABC所成的二面角相等，则O是ABC的内心；若三组对棱SA与BC，SB与CA，SC与AB中有两组互相垂直，则O是ABC的垂心则其中真命题的序号是 【分析】连接OA，OB，OC，由线面角的定义和三角形的外心的定义，可判断；过S作SDAC，垂足为D，连接OD，过S作SEBC，垂足
15、为E，连接OE，过S作SFAB，垂足为F，连接OF，由二面角平面角的定义和三角形的内心的定义，可判断；连接OA，OB，OC，由三垂线定理的逆定理和三角形的垂心的定义，可判断解：对于，连接OA，OB，OC，见图1由SO平面ABC，可得SAO为SA与平面ABC所成角，SBO为SB与平面ABC所成角，SCO为SC与平面ABC所成角，且SAOSBOSCO，所以AOBOCO，即O为ABC的外心，故正确；对于，过S作SDAC，垂足为D，连接OD，过S作SEBC，垂足为E，连接OE，过S作SFAB，垂足为F，连接OF，见图2由三垂线定理的逆定理可得ODAC，OEBC，OFAB，可得SFO为侧面SAB与底面A
16、BC所成角的平面角，SEO为侧面SCB与底面ABC所成角的平面角，SDO为侧面SAC与底面ABC所成角的平面角，且SFOSEOSDO，所以ODOEOF，即O为ABC的内心，故正确；对于，连接OA，OB，OC，见图3若SABC，SBAC，由三垂线定理的逆定理可得OABC，OBAC，即为0，0，即有（）0，（）0，所以，即有（）0，则OCAB，即O为ABC的垂心，故正确故答案为：10如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADCD，ABD是边长为2的正三角形，P是平面ABCD内的动点，设，则+的取值范围是 1，2【分析】首先根据梯形所在的位置，建立平面直角坐标系，进一步利用|，建立单位圆的参数方程，
17、再利用三角函数关系式，求出+的关系式，最后求出函数的关系式的取值范围即可求解答结论解：根据题意建立平面直角坐标系：直角梯形ABCD中，CBCD，ADBC，ABD是边长为2的正三角形，解得：BC1，CD，ABBDAD2，所以A（2，0），B（1，），C（0，），D（0，0），则（2，0），（1，）由|，可得点P在以C为圆心，为半径的圆上运动，该圆方程为x+（y），设P（cos，sin+），则（cos+2，sin+），由于，则：（cos+2，sin+）（2，0）+（1，），整理得：，所以，所以+sin+cos+sin（+）+，因为1sin（+）1，所以1sin（+）+2，所以+的取值范围是1，2故
18、答案为：1，2四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤11设z，C，且|z|+（1）求z；（2）在|2|z|，求复数的模的取值范围【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数模的计算公式，求解即可（2）设x+yi，x，yR，由已知，可得（x2）2+y24，求出x的范围，再求出复数的模的取值范围即可解：（1）设za+bi，a，bR，|z|+，则，解得，z2i（2）设x+yi，x，yR，由|2|z|，可得（x2）2+y24，y24（x2）20，0x4，|，|0，412已知向量，设函数（xR）（1）求函数f（x）的单调递减区间和对称中心的坐标；（2）将函数
19、yf（x）的图象向左平个单位后得到函数yg（x）的图象，若关于x的方程g（x）m在区间上有解求实数m的取值范围【分析】（1）利用向量坐标运算法则及三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）的范围，可得m的范围解：（1）由题可得f（x）（2cosx，cosx）（sinx，2cosx）2cosxsinx2cosxsin2xcos2x+12sin（2x）+1，令+2k2x+2k，kZ，解得+kx+k，kZ，即f（x）的单调递减区间为+k，+k（kZ）；令2xk，kZ，解得x+（kZ），即f（x）的对称中心坐标为（+，0）（kZ
20、）；（2）由（1）可知g（x）2sin2（x+）+12sin（2x+）+1，若关于x的方程g（x）m在区间0，上有解，在区间0，上，2x+，sin（2x+），1，g（x）0，2若方程g（x）m在区间0，上有解，则m0，213袋中装有除颜色外完全相同的的4个球，其中有3个黑球和1个白球现由甲乙两人从袋中轮流取球，取后不放，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，按下来再由乙取到有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率是相等，记事件Ai“第i次取到的球是白球”，i1，2，3试将下列件A1，A2，A3表示，并求出相应事件的概率（1）取球2次即终止；（2）最后一次取球的是甲【分析】
21、（1）取球2次终止情况为第一次取黑球，第二次取白球，结合概率的乘法公式，即可求解（2）最后一次取球的是甲，则意味着取到白球的次数为奇数，则包括A1，A3两种情况，分别求出两种情况，并求和，即可求解解：（1）取球2次终止情况为第一次取黑球，第二次取白球，则P2（2）最后一次取球的是甲，则意味着取到白球的次数为奇数，则包括A1，A3两种情况，A1事件对应的概率P1，A3事件对应的概率P3，最后一次取球的是甲的概率PP1+P214如图，在ABC中，B60，点D在边AB上，ADCD，BD1（1）若BCD的面积为，求AB的长：（2）若，求角A的大小【分析】（1）由三角形面积公式可求得BC，再由余弦定理可
22、求得CD，从而可求得AB的长；（2）设AACD，在ACD中，利用正弦定理可求得CD，在BCD中，利用正弦定理可得cossin（2），利用诱导公式即可求解的大小，即角A的大小解：（1）在BCD中，B60，BD1，若BCD的面积为，则SBCDBDBCsinB，所以BC，所以BC2，则CD，所以ADCD，所以ABAD+BD+1（2）在ACD中，ADCD，可设AACD，则ADC2，又，由正弦定理，得，所以CD，在BCD中，BDC2，BCD2，由正弦定理，得，即，化简得cossin（2），于是sin（）sin（2），因为0，所以0，2，所以2或+2，解得或，即角A的大小为或15从某小区抽100户居民进行
23、月用电量调查，发现他们的月用电量都在50350（度）之间，在进行适当分组（每组为左闭右开区间），并列出频率分分布表、画频率分布直方图后，将频率分布方图的全部6个矩形上方线段的中点自左右的顺序依次相连，再删掉这6个矩形，就得到了如图所示的“频率分布折线图”（1）请画出频率分布直方图，并求出频率分布折线图x的值；（2）请结合频率分布直方图，求月用电量落在区间50，200）（度）内的用户的月用电量的中均数；（3）已知在原始数据中，月用电量落在区间50，200）（度）内的用户的月用电量的平均数为140（度），方差为1600，所有这100户的月川电量的平均数为188（度），方差为5200，且月用电最落在
24、区间50，200）（度）内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，求月用电量在区间200，350）（度）内的用户用电量的标准差（参考数据：142196，262676，7225184，482+16003904，1402+160021200，1882+520040544）【分析】（1）根据折线图的频率即可作出频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图求出各组电量，可求得平均数；（3）根据方差公式设前60户的月用电分别为xi，（i1，2，60），平均数为140，方差1600，后60户的月用电量分别为yi，（i1，2，60）平均数为，方差为，进而可依公式求解解：（1）频率分布直方图：由频率分布折
25、线图或频率分布直方图得（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）501，即x0.0044；（2）月用电量落在区间50，100）（度），100，150）（度），150，200）（度）内的用户数分别为0.00245010012，0.00365010018，0.00605010030所平均数（2512+12518+17530）60140（度）；（3）由（2）知，月用电落在（间50，200）（度）的户数12+18+3060月用电量在区间200，350）（度）内的户数1006040设前60户的月用电分别为xi，（i1，2，60），平均数为140，方差1600后60户的月
26、用电量分别为yi，（i1，2，60）平均数为，方差为全部100户的月用电量分别为，平均数，方差为s25200060+40100，即故有，有，所以：，故16如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA平面ABCD，PAAB点E是PD的中点，作EFPC，交PC于点F（1）设平面PAB与平面ACE的交线为l，试判断直线PB与直线/的位置关系，并给出证明；（2）求平面PAB与平面ACE所成的较小的二面角的余弦值；（3）求直线PD与平面AEF所成角的正切值【分析】（1）根据线面平行的性质定理进行证明即可（2）先找出二面角的平面角，然后进行求解即可，（3）根据线面角的定义进行求解即可，【解答】证明：（1）连
27、结BD交AC交于G，ABCD是正方形，G为BD的中点，又E是PD的中点，EG/PB，又PB平面ACE，EG平面ACE，PB/平面ACE，又PB平面PAB，平面PAB平面ACEl，PB/l解：（2）PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB，设正方形ABCD的边长为4，PAPB，PAB的中线AH2，PB4，AHPB，同理AE2，PD4，AEPD，EGPB2，AGAC2，AEG为正三角形，中线AI，且AIEG，AHPB，PB/l，AHl，同理AIl，HAI是二面角CElPB的一个平面角，又在正三角形PBD中HI，cosHAI，则平面PAB与平面ACE所成的较小的面角的余弦值为解：（3）同（2）中PAAB，得PACD，又在正方形ABCD中，ADCD，PAADA，PA平面PAD，AD平面PAD，CD平面PAD，同理AE平面PCD同理PF面AEFPEF是直线PD与平面AEF所成的角，在RtPEF和RtPCD中得tanPEFcotCPD，直线PD与平面AEF所成角的正切值为
