1、5.5数学归纳法学 习 任 务核 心 素 养1了解数学归纳法的原理(重点、易混点)2掌握数学归纳法的步骤(难点)3能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(难点)1通过数学归纳法的学习，培养数学抽象、逻辑推理素养2通过利用数学归纳法证明数学命题，提升数学运算素养一列排好的多米诺骨牌，如果推倒第一张，而且后续的每一张倒下时，能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下问题：保证每张骨牌倒下的原因有哪些？由此如何理解数学归纳法的原理提示略知识点数学归纳法的定义一个与自然数有关的命题，如果(1)当nn0时，命题成立；(2)在假设nk(其中kn0)时命题成立的前提下，能够推出nk1时命题也成立那么，这个命题
2、对大于等于n0的所有自然数都成立数学归纳法的初始值n0一定是取1吗？提示不一定n0的取值视具体情况而定拓展：数学归纳法两个步骤的联系：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成第一步而缺少第二步就作出判断，可能得出不正确的结论因为单靠第一步，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有第二步而缺少第一步时，也可能得出不正确的结论，缺少第一步这个基础，假设就失去了成立的前提，第二步也就没有意义了1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为
3、1()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可()答案(1)(2)(3)2在应用数学归纳法证明凸多边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()A1B2C3D4C三角形是边数最少的多边形，故第一步应检验n3 类型1用数学归纳法证明恒等式【例1】求证：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)证明(1)当n1时，左边112，右边2112，左边右边，等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)，那么，当nk1时，左边(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2)(k1)(k2)(k3)(kk)2k13(2k1)(2k1)22k113(2k1)2(
4、k1)1右边当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切nN*，原等式均成立用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由nk到nk1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项.跟进训练1用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13 (2n1)(nN)，“从k到k1”左端增乘的代数式为_2(2k1)令f(n)(n1)(n2)(nn)，则f(k)(k1)(k2)(kk)，f(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)，所以2(2k1)2用数学归纳法证明123252(2n1)2n(4n21)(nN*
5、)证明(1)当n1时，左边12，右边1(4121)1，左边右边，等式成立(2)假设当nk(kN*，k1)时，等式成立，即123252(2k1)2k(4k21)，则当nk1时，123252(2k1)2(2k1)2k(4k21)(2k1)2k(2k1)(2k1)(2k1)2(2k1)k(2k1)3(2k1)(2k1)(2k25k3)(2k1)(k1)(2k3)(k1)(4k28k3)(k1)4(k1)21，即当nk1时，等式成立由(1)(2)知，对一切nN*等式成立 类型2用数学归纳法证明不等式【例2】证明不等式12(nN)思路点拨在由nk到nk1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度证
6、明当n1时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立假设当nk(k1且kN)时，不等式成立，即12则当nk1时，122当nk1时，不等式成立由可知，原不等式对任意nN都成立1当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法2用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时运用归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明运用放缩法时，要注意放缩的“度”跟进训练3用数学归纳法证明对一切nN*，1证明(1)当n1时，左边1，右边1，不等式成立(2)假设当nk时，不等式成立，即1则当nk1时，要证1，只需证因为0，所以，即1，所以当
7、nk1时不等式成立由(1)(2)知，不等式对一切nN*都成立 类型3归纳猜想证明【例3】已知数列an的前n项和为Sn，其中an且a1(1)求a2，a3；(2)猜想数列an的通项公式，并证明思路点拨(1)令n2，3可分别求a2，a3(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想an，再用数学归纳法证明解(1)a2，a1，则a2，类似地求得a3(2)由a1，a2，a3，猜得：an证明：当n1时，由(1)可知等式成立；假设当nk时猜想成立，即ak，那么，当nk1时，由题设an，得ak，ak1，所以Skk(2k1)akk(2k1)，Sk1(k1)(2k1)ak1，ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak
8、1因此，k(2k3)ak1，所以ak1这就证明了当nk1时命题成立由可知命题对任何nN都成立1“归纳猜想证明”的一般环节2“归纳猜想证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在(3)给出一些简单的命题(n1，2，3，)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题跟进训练4已知函数yf(n)(nN)，设f(1)2，且任意的n1，n2N，有f(n1n2)f(n1)f(n2)(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明解(1)因为f(1)2，f(n1n2)f(n
9、1)f(n2)，所以f(2)f(11)f(1)f(1)224，f(3)f(21)f(2)f(1)222238f(4)f(31)f(3)f(1)2322416(2)猜想：f(n)2n(nN)用数学归纳法证明如下：当n1时，f(1)212，所以猜想正确假设当nk(k1，kN)时猜想正确，即f(k)2k，那么当nk1时，f(k1)f(k)f(1)2k22k1，所以，当nk1时，猜想正确由知，对任意的nN，都有f(n)2n 类型4用数学归纳法解决平面几何问题1如图，两直线a，b相交，其把平面分成几部分？提示4部分2如图，三条直线a，b，c两两相交，不共交于一点，其把平面分成几部分？提示7部分3如图，四
10、条直线a，b，c，d两两相交，交点均不重合，其把平面分成几部分？结合尝试与发现1，2分析，如果前k条线两两相交(交点均不重合)把平面分成f(k)部分，再增加一条相交直线(交点均不重合)，其把平面分成f(k1)部分，那么f(k1)与f(k)之间存在怎样的等量关系？提示11部分，f(k1)f(k)k1【例4】(对接教材P52例2)已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n个平面把空间分成f(n)n(n1)2部分证明(1)当n1时，1个平面把空间分成2部分，而f(1)1(11)22(部分)，所以命题正确(2)假设当nk(kN*)时，命题成立，即k个符合条件的平面把空间分为
11、f(k)k(k1)2(部分)，当nk1时，第k1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k部分，故f(k1)f(k)2kk(k1)22kk(k12)2(k1)(k1)12(部分)，即当nk1时，命题也成立根据(1)(2)，知n个符合条件的平面把空间分成f(n)n(n1)2部分用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k1之间的递推关系.跟进训练5平面内有n(nN*，n2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证：交点的个数f(n)证明(1)当n2时，两条直线的交点
12、只有一个，又f(2)2(21)1，当n2时，命题成立(2)假设当nk(kN*，k2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)k(k1)，那么，当nk1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)k(k1)，l与其他k条直线的交点个数为k，从而k1条直线共有f(k)k个交点，即f(k1)f(k)kk(k1)kk(k12)k(k1)(k1)(k1)1，当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，对任意nN*(n2)命题都成立1用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n2)”时，归纳奠基中n0的取值应为()A1B2C3D4C边数最少的凸n边形为三角形，故n032用数学
13、归纳法证明1aa2an1(nN，a1)，在验证n1成立时，左边所得的项为()A1B1aa2C1aD1aa2a3B当n1时，n12，故左边所得的项为1aa23用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Snna1d时，假设当nk时，公式成立，则Sk()Aa1(k1)dBCka1dD(k1)a1dC假设当nk时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Skka1d4用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当nk时，表达式为1427k(3k1)k(k1)2，则当nk1时，表达式为_1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2当nk1时，应将表达式1427k(3k1)k(k1
14、)2中的k更换为k15以下是用数学归纳法证明“nN时，2nn2”的过程，证明：(1)当n1时，2112，不等式显然成立(2)假设当nk(kN)时不等式成立，即2kk2那么，当nk1时，2k122k2k2kk2k2k22k1(k1)2即当nk1时不等式也成立根据(1)和(2)，可知对任何nN不等式都成立其中错误的步骤为_(填序号)(2)在2k122k2k2kk2k2k22k1中用了k22k1，这是一个不确定的结论如k2时，k22k1回顾本节知识，自我完成以下问题：1利用数学归纳法证明数学命题时需要注意哪些问题？提示(1)一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数列的通项公式及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决(2)第一个值n0是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值n0都是1(3)步骤()是用数学归纳法证明命题的关键归纳假设“当nk(其中kn0)时命题成立”起着已知的作用，证明“当nk1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当nk1时命题也成立而不能直接将nk1代入归纳假设，此时nk1时命题成立也是假设，命题并没有得证2利用归纳假设的常用技巧有哪些？提示在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系
