1、兴宁一中高三第6周数学试题(理科)2015.10.10一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分三、解答题:本大题共6小题,满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤已知正方形的边长为2,将正方形沿对角线折起,使,得到三棱锥,如图所示 (1)当时,求证:;(2)当二面角的大小为时,求二面角的正切值已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1) 把的参数方程化为极坐标方程;(2) 求与交点的极坐标().兴宁一中高三第6周数
2、学考试答案(理科)2015.10.10一、 选择题:题号123456789101112答案DBCDBACADDAC二、填空题: 三、解答题19、(1)证明:根据题意,在中,所以,所以 2分 因为是正方形的对角线,所以 3分 因为BD、CO是面BCD上的两条相交直线, 4分所以. 5分(2)解法1:折叠后在中,在中,所以是二面角的平面角,即 6分在中,所以如图,过点作的垂线交延长线于点,因为,且,所以平面. 因为平面,所以又,且,所以平面 8分过点作作,垂足为,连接, 因为,所以平面因为平面,所以所以为二面角的平面角 10分在中,则,ABCDOHK所以在中,所以在中,11分所以二面角的正切值为
3、12分解法2:由(1)知,如图,以为原点,所在的直线分别为轴,轴建立如图ABCDOyxz的空间直角坐标系,则有,设,则,又设面的法向量为,则即 所以,令,则所以因为平面的一个法向量为,且二面角的大小为,所以,得因为,所以解得所以设平面的法向量为,因为,则,即令,则所以设二面角的平面角为,所以, 所以所以二面角的正切值为12分20、解:( 1)函数的定义域为,且 1分若在定义域上是增函数, 则在上恒成立 2分即在上恒成立,所以 3分由已知, 所以实数的取值范围为 4分 (2)若,由(1)知,函数在区间上为增函数. 所以函数在区间上的最小值为 6分若,由于, 所以函数在区间上为减函数,在区间上为增
4、函数 7分()若,即时, 函数在区间上为增函数, 所以函数在的最小值为 9分()若,即时, 函数在区间为减函数,在上为增函数, 所以函数在区间上的最小值为 10分()若,即时, 函数在区间上为减函数, 所以函数在的最小值为 11分综上所述,当且时,函数在区间上的最小值为. 当时,函数在区间的最小值为. 当时,函数在区间上的最小值为 12分21、解:(1) ,2分且,函数的单调递增区间为 4分 (2) , 切线的方程为, 即, 5分设直线与曲线相切于点,,. 直线也为, 即, 7分 由得 , 8分由(1)可知,在区间上递增 9分又, 11分结合零点存在性定理,说明方程必在区间 上有唯一的根,这个根就是所求的唯一,故结论成立 12分22、解:(1)将,消去参数t,化为普通方程,2分即 , 3分;所以极坐标方程为 。 5分(2)的普通方程为, 6分 8分所以交点的极坐标为. 10分