1、樟树中学、丰城九中、宜春一中、万载中学高安二中、宜丰中学、奉新一中、宜春九中2023届高三第二次联考文科数学试卷考试时间：120分钟 分值：150分一、单选题（60分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为集合，所以，故选：D2. 已知复数z在复平面上对应的点为，则（ ）A. z的虚部为B. C. D. 是纯虚数【答案】D【解析】【分析】根据题意得，根据虚部的概念、模的求法、共轭复数的概念、纯虚数的概念依次判断选项，即可求解.【详解】A：因为复数z在复平面上对应的点为，则，所以复数z的虚部为-1，故A错误；B：，故B错
2、误；C：，故C错误；D：，为纯虚数，故D正确故选：D3. 若非零向量，满足，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由向量垂直转化为向量数量积为0，利用向量的数量积运算化简即可得出结果.【详解】因为，所以，即，即，又，结合已知条件可知，故.故选：C.4. 福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01，02，03，32，33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球号码为（）第1行:2 9 7 63 4 1 32 8 4 14 2 4 1第2行:8 3 0 39
3、8 2 25 8 8 82 4 1 0第3行:5 5 5 68 5 2 66 1 6 68 2 3 1A. 10B. 22C. 24D. 26【答案】C【解析】【分析】根据随机数表的读取规则读出所取球号码，即可判断.【详解】被选中的红色球号码依次为，所以第四个被选中的红色球号码为.故选：C.5. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成角的方向继续飞行到终点B点.这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了（ ）（，）A. 10kmB. 20kmC
4、 30kmD. 40km【答案】B【解析】【分析】由题得，再由正弦定理求出，即得解.【详解】在中，由，得，由正弦定理得，所以，所以，所以，故选：B.6. 已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.【详解】因为为偶函数，所以的图像关于y轴对称，则的图像关于直线对称因为在上单调递增，所以在上单调递减因为，所以，解得故选：A.7. 若直线上存在到曲线T上一点的距离为d的点，则称该直线为曲线T的d距离可相邻直线.已知直线l：为圆C：的2距离可相邻直线，则m的
5、取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直线l上存在到圆C上一点的距离为2的点，则圆心到直线l的距离，解不等式即可.【详解】因为圆C的半径为3，直线l上存在到圆C上一点的距离为2的点，所以由题意可得圆心到直线l的距离，即，解得.故选：C.8. 已知函数满足，且在上单调，则在上的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先通过，且在上单调，确定的值，再通过三角函数值域的求法求解在上的值域即可.【详解】由得，或，当时在上不单调，当时在上单调，所以.当时，所以，所以在上的值域为.故选：B .9. 抛物线的光学性质是：从抛物线焦点出发的光线经抛物线反射后，
6、反射光线与抛物线对称轴平行，已知、分别为抛物线的焦点和内侧一点，抛物线上存在点使得，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据抛物线定义可知，由此可知，结合在抛物线内侧可求得的范围.【详解】由抛物线方程知：，准线；过作，垂足为，由抛物线定义知：，则当三点共线时，取得最小值，即图中的，解得：；又在抛物线内侧，解得：，实数的取值范围为.故选：D.10. 在三棱锥中，平面经过的中点，并且与垂直，则截此三棱锥所得的截面面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理，通过找线线垂直，利用图中两个等边三角形和的中点即可确定截
7、面，从而求截面的面积，转化成求三角形的面积，再利用三角形面积公式，即可求出结果【详解】取靠近的四等分点，的中点，连接，由，可知，同理可知，又，面，所以平面，所以平面即为平面，又因为，所以，所以截此三棱锥所得的截面面积为，当时，取得最大值，为，故选：D11. 算盘是中国传统的计算工具东汉徐岳所撰的数术记遗中记载：“珠算，控带四时，经纬三才”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒）不使用. 如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被3整除的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的
8、概率求解.【详解】解：从个位、十位、百位这三组中随机拨动2粒珠，有2，6，20，60，200，600，11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550共18个，其中能被3整除的有：6，60，600，15，51，105，501，150，510共9个，所以这个数能够被3整除的概率是，故选：C12. 若函数有两个极值点，且，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求导，根据函数有两个极值点， 由在上有两个不等实根，求得a的范围，进而再根据，得到的范围，再由，得到，利用导数法求解.【详解】因为，所以，令，因函数有两个极值点， 所以函数
9、在上有两个不等实根，则，解得，因为，且，所以，且，所以，令函数，则在上恒成立，故在上单调递增，则，即的取值范围为故选：A【点睛】关键点睛：本题关键是根据题意，由在上有两个不等实根，求得a的范围，进而再根据，得到的范围而得解.二、填空题（20分）13. 若满足约束条件，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】由约束条件可作出可行域，将问题转化为在轴截距最小问题的求解，采用数形结合可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，当取得最大值时，在轴截距最小，如图所示，将平移，当其过点时，在轴截距最小，由得：，即，.故答案为：.14. 在三角形ABC中，的平分线AD交BC于D，且，则_【
10、答案】【解析】【分析】在三角形ABC中，由正弦定理可得，利用同角三角函数的基本关系可得，利用二倍角公式可求的值，根据三角形的内角和定理可求的值.【详解】在三角形ABC中，由正弦定理可得:,所以.故答案为：.15. 已知数列满足，则数列的前30项和为 _.【答案】465【解析】【分析】根据递推公式得出奇数项数列和偶数项数列各为等差数列，分组求和即可得出前30项和.【详解】当为奇数时，是首项为1，公差为1的等差数列；当为偶数时，是首项为2，公差为3的等差数列；故答案：46516. 设，同时为椭圆与双曲线的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，O为坐标原点，若，
11、则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据椭圆及双曲线的定义求出，再根据，可得的关系，再将用表示结合函数的单调性即可得出答案.【详解】解：设，焦距为2c，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，当时，可得，即，可得，则，所以，由，可得，可得，即，可设，则，令，则，所以函数在上单调递增，可得，所以故答案为：.三、解答题17. 设是等比数列的前n项和，公比，且，是与的等差中项.（1）求；（2）是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）； （2）存在，.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，列出方程组求出，进而求出公比，再利用等比数列前n项和公式求解作答
12、.（2）由（1）的结论，利用特值法求出，再利用等比数列定义判断作答.【小问1详解】依题意，解得，有，即，解得：或，因为，因此，所以.【小问2详解】由（1）知，假设存在常数，使得数列为等比数列，则，即，解得：，此时，即数列是等比数列，所以存在，使得数列为等比数列.18. 一所中学组织学生对某线下某实体店2022年部分月份的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下：月份24681012净利润（万元）0.92.04.23.95.25.10.71.41.82.12.32.51.42.02.42.83.23.5根据散点图，准备用或建立关于的回归方程.（1）用线性相关系数说明上面的两种模型哪种适宜作为关于的
13、回归方程?（2）由参考数据，根据（1）的判断结果，求关于的回归方程（精确到0.1）.附：对于一组数据（，2，3，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.相关系数.参考数据：，.【答案】（1）模型 （2）【解析】【分析】(1)计算相关系数比较大小即可确定更适宜的模型；(2)利用最小二乘法相关公式即可求解.【小问1详解】由题意的线性相关系数的相关系数.的相关系数.所以，因此模型拟合效果更好.【小问2详解】根据（1）的判断结果，计算与由参考数据，所以.于是关于的回归方程为.19. 如图（），已知边长为的菱形中，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图（）（1）求证：平面；（2）求点到平
14、面的距离【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可证得；根据长度关系，可利用勾股定理证得，由线面垂直的判定可证得结论；（2）利用等体积转化，即，结合棱锥体积公式可构造方程求得结果.【小问1详解】连接，四边形为菱形，又为中点，；在菱形中，又，；，平面，平面.【小问2详解】由（1）知：平面，；设点到平面的距离为，解得：，即点到平面的距离为.20. 已知椭圆经过点，其右焦点为.（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆的右顶点为，若点在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，求面积的最大值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据椭圆过的点和右焦点，列方程组求出，则
15、椭圆方程可求；（2）设，与椭圆方程联立，消去，利用韦达定理计算，可得的关系，利用的关系表示出，利用二次函数的性质求出最值.【小问1详解】依题可得解得所以椭圆的方程为；【小问2详解】易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，故可设，由可得，所以，即，而，即，化简可得，化简得，所以或，所以直线或，因为直线不经过点，所以直线经过定点.所以直线的方程为，易知，设定点，因为，且，所以，所以，设，所以，当且仅当，即时取等号，即面积的最大值为.【点睛】方法点睛：在圆锥曲线中涉及到三角形面积的求解时，常常有三种求解三角形面积的方法：（1）常规面积公式：底高；（2）正弦面积公式：；（3）铅锤水平面面积公式：过轴
16、上的定点：（为轴上定长）过轴上的定点（为轴上定长）21. 已知函数（1）当时，研究函数的单调性；（2）当时，恒成立，求a的取值范围【答案】（1）在定义域内单调递增 （2）【解析】【分析】（1）求函数的导函数可得，根据导数结构考虑构造函数，利用导数证明，取对数证明，由此证明，由此可得函数的单调性；（2）设，由已知可得恒成立，构造函数，讨论，利用导数求其最小值，可得a的取值范围【小问1详解】因为，所以，所以函数的定义域为，且，构造函数，则，令，得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，当时，所以当时，当且仅当时等号成立，所以当时，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，在上单
17、调递增【小问2详解】，等价于，令，构造函数，令，注意到当时，当时，即当时，所以在上单调递减，所以，不符合题意当时，令，单调递增，则，当时，则，单调递增，单调递增，符合题意综上所述【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用22. 在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直
18、线与曲线C的极坐标方程分别为，点P的极坐标为（1）求直线以及曲线C的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线与，C的公共点分别为A，B，且，求的面积【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）利用极坐标方程和直角坐标方程的转化关系即可；（2）利用极坐标方程的几何意义和三角形的面积公式即可.【小问1详解】因为，所以，即直线的直角坐标方程为由，得，代入公式得，所以曲线C的直角坐标方程为【小问2详解】设点A，B的极坐标分别为，由题意可得，则，可得因为，所以，则因为点P的极坐标为，故23. 已知函数（1）求不等式的解集；（2）函数最小值为，求的最小值【答案】（1） （2）12【解析】【分析】（1）对x的值分类讨论开绝对值可得，作出函数的图形，结合图形即可求解；（2）由图可知，进而，根据柯西不等式计算即可求解.【小问1详解】时，当时，当时，由图可知：当时，或，所以的解集为；【小问2详解】由图可知，由柯西不等式得，当且仅当时取等号，的最小值为12.
