1、第八章立体几何第七节立体几何中的向量方法A级基础过关|固根基|1.(2019年全国卷)如图,长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1;(2)若AEA1E,求二面角BECC1的正弦值解:(1)证明:由已知得,B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,B1C1EC1C1,所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB45,故AEAB,AA12AB以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则C(0
2、,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),(1,0,0),(1,1,1),(0,0,2)设平面EBC的法向量为n(x,y,z),则即令y1,则x0,z1,所以n(0,1,1)设平面ECC1的法向量为m(x1,y1,z1),则即所以可取m(1,1,0)于是cosn,m.所以,二面角BECC1的正弦值为.2(2019届太原市一模)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,PABD(1)求证:PBPD;(2)若E,F分别为PC,AB的中点,EF平面PCD,求直线PB与平面PCD所成角的大小解:(1)证明:如图,连接AC,交BD于点O,连接PO,四边形ABCD
3、是正方形,ACBD,OBOD又PABD,PA平面PAC,AC平面PAC,PAACA,BD平面PAC又PO平面PAC,BDPO.又OBOD,PBPD(2)设PD的中点为Q,连接AQ,EQ,E为PC的中点,EQCD,EQCD又AFCD,ABCD,F为AB的中点,AFABCD,EQAF,EQAF,四边形AQEF为平行四边形,EFAQ.EF平面PCD,AQ平面PCD又PD平面PCD,AQPDQ是PD的中点,APAD.AQ平面PCD,CD平面PCD,AQCD又ADCD,AQADA,CD平面PAD又PA平面PAD,CDPA.PABD,BDCDD,BD平面ABCD,CD平面ABCD,PA平面ABCD以A为坐
4、标原点,以AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(,0,0),P(0,0,),Q,(,0,)AQ平面PCD,为平面PCD的一个法向量,cos,.设直线PB与平面PCD所成的角为,则sin |cos,|,直线PB与平面PCD所成的角为.3(2020届广州四校联考)如图1,已知三棱锥PABC,其展开图如图2所示,其中四边形ABCD是边长等于的正方形,ABE和BCF均为正三角形(1)证明:平面PAC平面ABC;(2)若M是PA的中点,求二面角PBCM的余弦值解:(1)证明:如图,设AC的中点为O,连接BO,PO.由题意,得PAPBPC,P
5、O1,AOBOCO1.因为在PAC中,PAPC,O为AC的中点,所以POAC因为在POB中,PO1,OB1,PB,所以PO2OB2PB2,所以POOB因为ACOBO,AC,OB平面ABC,所以PO平面ABC,又PO平面PAC,所以平面PAC平面ABC(2)由(1)可知POOB,POAC,OBAC,所以以O为坐标原点,OC,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则O(0,0,0),C(1,0,0),B(0,1,0),A(1,0,0),P(0,0,1),M,0,所以(1,1,0),(1,0,1),0,.设平面MBC的法向量为m(x1,y1,z1),则令x11
6、,得y11,z13,即m(1,1,3)为平面MBC的一个法向量设平面PBC的法向量为n(x2,y2,z2),则令x21,得y21,z21,即n(1,1,1)为平面PBC的一个法向量cosn,m.由图可知,二面角PBCM为锐角,故其余弦值为.B级素养提升|练能力|4.(2019届辽宁五校联考)如图,在四棱锥EABCD中,底面ABCD为直角梯形,其中CDAB,BCAB,平面ABE平面ABCD,且ABAEBE2BC2CD2,动点F在棱AE上,且EFFA.(1)试探究的值,使CE平面BDF,并给予证明;(2)当1时,求直线CE与平面BDF所成角的正弦值解:(1)当时,CE平面BDF.证明如下:连接AC
7、交BD于点G,连接GF,CDAB,AB2CD,.EFFA,GFCE.又CE平面BDF,GF平面BDF,CE平面BDF.(2)取AB的中点O,连接EO,则EOAB,平面ABE平面ABCD,平面ABE平面ABCDAB,且EOAB,EO平面ABCD连接DO,BOCD,且BOCD1,四边形BODC为平行四边形,BCDO,又BCAB,ABOD,则OD,OA,OE两两垂直,以OD,OA,OE所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,1,0),D(1,0,0),C(1,1,0),E(0,0,)当1时,有,F,(1,1,0),(1,1,
8、),.设平面BDF的法向量为n(x,y,z),则有即令z,得y1,x1,则n(1,1,)为平面BDF的一个法向量设直线CE与平面BDF所成的角为,则sin |cos,n|,故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为.5(2020届大同调研)在如图所示的多面体中,EF平面AEB,AEEB,ADEF,EFBC,BC2AD4,EF3,AEBE2,G是BC的中点(1)求证:AB平面DEG;(2)求二面角CDFE的余弦值解:(1)证明:ADEF,EFBC,ADBC又BC2AD,G是BC的中点,ADBG,四边形ADGB是平行四边形,ABDG.AB平面DEG,DG平面DEG,AB平面DEG.(2)EF平面AEB
9、,AE平面AEB,BE平面AEB,EFAE,EFBE,又AEEB,EB,EF,EA两两垂直以点E为坐标原点,EB,EF,EA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Exyz,则E(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2)由已知得(2,0,0)是平面EFDA的一个法向量设平面DCF的法向量为n(x,y,z),则(0,1,2),(2,1,0),令z1,得y2,x1,n(1,2,1)为平面DCF的一个法向量设二面角CDFE的大小为,则|cos |cosn,|.易知二面角CDFE为钝二面角,二面角CDFE的余弦值为.6(2020届四川五校联
10、考)如图,在四棱锥PABCD中,ABDC,ADC,ABADCD2,PDPB,PDBC(1)求证:平面PBC平面PBD;(2)在线段PC上是否存在点M,使得平面ABM与平面PBD所成的锐二面角为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由解:(1)证明:因为ABDC,ABADCD2,ADC,所以CD4,BD2,BDC.在BCD中,根据余弦定理得BC2,所以CD2BD2BC2,故BCBD又BCPD,PDBDD,BD,PD平面PBD,所以BC平面PBD又BC平面PBC,所以平面PBC平面PBD(2)由(1)得平面ABCD平面PBD,设E为BD的中点,连接PE,因为PBPD,所以PEBD,PE2.又平面ABCD平面PBD,平面ABCD平面PBDBD,所以PE平面ABCD如图,以A为坐标原点,以,的方向和垂直平面ABCD的向量的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,4,0),P(1,1,2)假设存在M(a,b,c),设(01),即,所以M(2,43,2)易得平面PBD的一个法向量为(2,2,0)(0,2,0),(2,43,2),设n(x,y,z)为平面ABM的法向量,则得不妨取n(2,0,2)因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为,所以,解得或2(不合题意舍去)故存在点M满足条件,.