1、第八章立体几何第七节立体几何中的向量方法A级基础过关|固根基|1.(2019年全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值解：(1)证明：由已知得，B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEB45，故AEAB，AA12AB以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C(0
2、，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，E(1，0，1)，(1，0，0)，(1，1，1)，(0，0，2)设平面EBC的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则x0，z1，所以n(0，1，1)设平面ECC1的法向量为m(x1，y1，z1)，则即所以可取m(1，1，0)于是cosn，m.所以，二面角BECC1的正弦值为.2(2019届太原市一模)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，PABD(1)求证：PBPD；(2)若E，F分别为PC，AB的中点，EF平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小解：(1)证明：如图，连接AC，交BD于点O，连接PO，四边形ABCD
3、是正方形，ACBD，OBOD又PABD，PA平面PAC，AC平面PAC，PAACA，BD平面PAC又PO平面PAC，BDPO.又OBOD，PBPD(2)设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，E为PC的中点，EQCD，EQCD又AFCD，ABCD，F为AB的中点，AFABCD，EQAF，EQAF，四边形AQEF为平行四边形，EFAQ.EF平面PCD，AQ平面PCD又PD平面PCD，AQPDQ是PD的中点，APAD.AQ平面PCD，CD平面PCD，AQCD又ADCD，AQADA，CD平面PAD又PA平面PAD，CDPA.PABD，BDCDD，BD平面ABCD，CD平面ABCD，PA平面ABCD以A为坐
4、标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，0，0)，P(0，0，)，Q，(，0，)AQ平面PCD，为平面PCD的一个法向量，cos，.设直线PB与平面PCD所成的角为，则sin |cos，|，直线PB与平面PCD所成的角为.3(2020届广州四校联考)如图1，已知三棱锥PABC，其展开图如图2所示，其中四边形ABCD是边长等于的正方形，ABE和BCF均为正三角形(1)证明：平面PAC平面ABC；(2)若M是PA的中点，求二面角PBCM的余弦值解：(1)证明：如图，设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意，得PAPBPC，P
5、O1，AOBOCO1.因为在PAC中，PAPC，O为AC的中点，所以POAC因为在POB中，PO1，OB1，PB，所以PO2OB2PB2，所以POOB因为ACOBO，AC，OB平面ABC，所以PO平面ABC，又PO平面PAC，所以平面PAC平面ABC(2)由(1)可知POOB，POAC，OBAC，所以以O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0，0，0)，C(1，0，0)，B(0，1，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，M，0，所以(1，1，0)，(1，0，1)，0，.设平面MBC的法向量为m(x1，y1，z1)，则令x11
6、，得y11，z13，即m(1，1，3)为平面MBC的一个法向量设平面PBC的法向量为n(x2，y2，z2)，则令x21，得y21，z21，即n(1，1，1)为平面PBC的一个法向量cosn，m.由图可知，二面角PBCM为锐角，故其余弦值为.B级素养提升|练能力|4.(2019届辽宁五校联考)如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中CDAB，BCAB，平面ABE平面ABCD，且ABAEBE2BC2CD2，动点F在棱AE上，且EFFA.(1)试探究的值，使CE平面BDF，并给予证明；(2)当1时，求直线CE与平面BDF所成角的正弦值解：(1)当时，CE平面BDF.证明如下：连接AC
7、交BD于点G，连接GF，CDAB，AB2CD，.EFFA，GFCE.又CE平面BDF，GF平面BDF，CE平面BDF.(2)取AB的中点O，连接EO，则EOAB，平面ABE平面ABCD，平面ABE平面ABCDAB，且EOAB，EO平面ABCD连接DO，BOCD，且BOCD1，四边形BODC为平行四边形，BCDO，又BCAB，ABOD，则OD，OA，OE两两垂直，以OD，OA，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0，0，0)，A(0，1，0)，B(0，1，0)，D(1，0，0)，C(1，1，0)，E(0，0，)当1时，有，F，(1，1，0)，(1，1，
8、)，.设平面BDF的法向量为n(x，y，z)，则有即令z，得y1，x1，则n(1，1，)为平面BDF的一个法向量设直线CE与平面BDF所成的角为，则sin |cos，n|，故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为.5(2020届大同调研)在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G是BC的中点(1)求证：AB平面DEG；(2)求二面角CDFE的余弦值解：(1)证明：ADEF，EFBC，ADBC又BC2AD，G是BC的中点，ADBG，四边形ADGB是平行四边形，ABDG.AB平面DEG，DG平面DEG，AB平面DEG.(2)EF平面AEB
9、，AE平面AEB，BE平面AEB，EFAE，EFBE，又AEEB，EB，EF，EA两两垂直以点E为坐标原点，EB，EF，EA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则E(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)由已知得(2，0，0)是平面EFDA的一个法向量设平面DCF的法向量为n(x，y，z)，则(0，1，2)，(2，1，0)，令z1，得y2，x1，n(1，2，1)为平面DCF的一个法向量设二面角CDFE的大小为，则|cos |cosn，|.易知二面角CDFE为钝二面角，二面角CDFE的余弦值为.6(2020届四川五校联
10、考)如图，在四棱锥PABCD中，ABDC，ADC，ABADCD2，PDPB，PDBC(1)求证：平面PBC平面PBD；(2)在线段PC上是否存在点M，使得平面ABM与平面PBD所成的锐二面角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：(1)证明：因为ABDC，ABADCD2，ADC，所以CD4，BD2，BDC.在BCD中，根据余弦定理得BC2，所以CD2BD2BC2，故BCBD又BCPD，PDBDD，BD，PD平面PBD，所以BC平面PBD又BC平面PBC，所以平面PBC平面PBD(2)由(1)得平面ABCD平面PBD，设E为BD的中点，连接PE，因为PBPD，所以PEBD，PE2.又平面ABCD平面PBD，平面ABCD平面PBDBD，所以PE平面ABCD如图，以A为坐标原点，以，的方向和垂直平面ABCD的向量的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，4，0)，P(1，1，2)假设存在M(a，b，c)，设(01)，即，所以M(2，43，2)易得平面PBD的一个法向量为(2，2，0)(0，2，0)，(2，43，2)，设n(x，y，z)为平面ABM的法向量，则得不妨取n(2，0，2)因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为，所以，解得或2(不合题意舍去)故存在点M满足条件，.